\magnification \magstep 2
\hsize 17 true cm
\voffset -5 true mm
\vsize 24 true cm
\tolerance 900

%\voffset -0.5 true in


Тестовые задачи по курсу "Электродинамика".


1. Заряд $q$ равномерно распределен по поверхности  шара  радиуса
$R$.  Записать выражение для поверхностной и объемной плотности
заряда.

Ответ:
$$\sigma_S={q\over 4\pi R^2},\ \ \ \ \rho={q\over 4\pi R^2}\delta (r-R).$$

2. Пусть $\vec n(\vartheta ,\varphi ) \ = \ (x/r,y/r,z/r)
\ = \ (\sin \vartheta \cdot \cos \varphi ,\sin \vartheta \cdot \sin
 \varphi ,\cos \vartheta)$ -- вектор единичной длины, все
 направления которого в пространстве равновероятны.  Найти
 усредненные значения произведений \ $\overline {n_in_j}$ \  и
 \ $\overline {n_in_jn_kn_l}$~, где $n_i$ - проекция вектора
$\vec n$ на ось i.

Ответ:
$$\overline {n_in_j}={1\over 3}\delta_{ij},\ \ \ \ \ \ \ \ 
\overline {n_in_jn_kn_l}={1\over 15}\big\{
\delta_{ij}\delta_{kl}+\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}\big\}.$$


3. Найти распределение заряда и полный заряд системы, потенциал
которой равен $\varphi (r) = (A/ r)\cdot \exp (-r/b)$.

Ответ:
$$\rho(r)=A\delta (\vec r) -{A\over 4\pi b^2 r}exp [-{r\over b}], \ \ \
Q=0.$$

4. Найти потенциал системы из трех заряженных частиц (до квадрупольного
приближения, включительно) на
 больших расстояниях  $r \gg a \sim b$ от нее.
Первая частица имеет заряд $2q$ и расположена в точке $\{a,0,0\},$
вторая частица имеет заряд $q$ и расположена в точке $\{0,b,0\},$
третья частица имеет заряд $-3q$ и расположена в точке $\{-a,0,0\}.$

Ответ:
$$\varphi ={q(5ax+by)\over r^3}-{q\over 2 r^5}\big[(2a^2+b^2)x^2-
(a^2+2b^2)y^2-(a^2-b^2)z^2\big].$$

5. Два коаксиальных равномерно заряженных  кольца  из тонкой
круглой проволоки, с радиусами \ $a$ \ и \ $b,$ зарядами \ $+q$
 \ и \ $-q$ \ , расположены в одной плоскости.  Найти скалярный
потенциал \ $\varphi $ \  на больших расстояниях \ $r \gg b > a$ \
от такой системы зарядов.

Ответ:
$$\varphi ={q(b^2-a^2)\over 4r^3}\big[3\cos^2\theta-1\big].$$

6. Найти энергию взаимодействия двух точечных диполей \ $\vec p_1$
  и \ $\vec p_2,$  расположенных на большом расстоянии друг
от друга.

Ответ:
$$U_{int}={(\vec p_1\vec p_2)r^2-3(\vec p_1\vec r)(\vec p_2\vec r)\over
r^5}.$$

7. Найти векторный потенциал и магнитное поле шара радиуса  $R$,
равномерно заряженного по объему зарядом  $q$  и вращающегося с
постоянной угловой скоростью  $\omega$  вокруг оси, проходящей через
центр, на больших расстояниях  $r , \ r \gg R$.

Ответ:
$$\vec A={[\vec m \vec r]\over r^3},\ \ \ \ \vec H={3(\vec m\vec r)\vec r-
\vec m r^2\over r^5},\ \ \ \ \vec m={qR^2\over 5c}\vec \omega .$$

8.  Заряд \ $e$ \ совершает гармонические колебания вдоль оси
\ $Z$ \ с амплитудой \ $a$ \ и частотой \ $\omega $ \ , ( $a \ll
c/\omega$ ).  Найти полную интенсивность и угловое распределение
излучения, усредненные по периоду.  Исследовать поляризацию.

Ответ:
$${dI\over d\Omega}={e^2a^2\omega^4\over 8\pi c^3}sin^2\theta ,\ \ \ \
I={e^2a^2\omega^4\over 3 c^3},\ поляризация\ линейная.$$

9. Заряд \ $е$ \ движется с постоянной угловой скоростью  \
$\omega $ \ по окружности радиуса \ $R$~. Найти угловое
распределение и полную интенсивность излучения.

Ответ:
$${dI\over d\Omega}={e^2R^2\omega^4\over 8\pi c^3}(1+cos^2\theta) ,
\ \ \ \ I={2e^2R^2\omega^4\over 3 c^3}.$$

10. Электрический диполь \ $\vec p$ \ гармонически колеблется вдоль
своей оси (оставаясь параллельным самому себе) с амплитудой \ $а$ \
и частотой \ $\omega$~.  Найти частоту излучения и энергию,
излучаемую за период.

Ответ: Частота излучения равна $\omega,$
$$\Delta {\cal E}={2\pi a^2\vec p^2\omega^5\over 15 c^5}.$$

11. Нерелятивистская частица с зарядом \ $е$ \  , массой \ $m$ \
рассеивается в
кулоновском поле бесконечно тяжелого силового центра (заряд \ $Q$)
с прицельным расстоянием \ $a$ \ , обеспечивающим малость отклонения,
\ $mv_0^2 \gg eQ/a$~(т.наз. периферическое рассеяние).  Найти полную
энергию, излученную во время соударения,  если  скорость частицы на
бесконечности равна \ $v_0$.

Ответ:
$$\Delta {\cal E}={\pi e^4Q^2\over 3 m^2c^3a^3v_0}.$$

12. Нерелятивистская частица с зарядом \ $е$ \ , массой \ $m$ \
движется в однородном постоянном магнитном поле \ $\vec Н$~. Найти время,
в течение которого энергия частицы уменьшается в 10 раз вследствии
излучения.

Ответ:
$$t={3m^3 c^5\over 4e^4H^2}ln 10.$$

13. Учитывая силу радиационного трения, найти силу давления света на
свободный нерелятивистский электрон.

Ответ:
$$\vec F={8\pi\over 3}\Big({e^2\over mc^2}\Big)^2{\vec \sigma\over c},\ \ \
\vec \sigma={c\over 4\pi} \overline{[\vec E\vec H]}.$$

14. Покоящийся атом испускает фотон частоты   \ $ \omega $~.
В каких пределах изменяется частота излучения этого атома, если
он движется со скоростью \ $ V $ \  ?

Ответ:
$$\omega_0\sqrt{{1-\beta\over 1+\beta}}\leq\omega\leq\omega_0
\sqrt{{1+\beta\over 1-\beta}}.$$


15. Найти потенциалы \ $ \varphi , \vec A $
 точечного заряда \ $ e $ \  , движущегося вдоль оси $z$
равномерно со скоростью \ $ V $~.

Ответ:
$$ \varphi ={e\over\sqrt{(x^2+y^2)(1-\beta^2)+(z-Vt)^2}},\ \ \ \
\vec A ={\vec V\over c}\varphi .$$

16. Учитывая преобразования Лоренца и используя закон преобразования
тензора второго ранга, найти формулы преобразования компонент  $E$  и
$H$ при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой,
движущейся относительно первой вдоль оси $х$ со скоростью $V$.

Ответ:
$$E'_x=E_x,\ \ H'_x=H_x,$$
$$E'_y={E_y-\beta H_z\over \sqrt{1-\beta^2}},\ \ \ \ \
H'_y={H_y+\beta E_z\over \sqrt{1-\beta^2}},$$
$$E'_z={E_z+\beta H_y\over \sqrt{1-\beta^2}},\ \ \ \ \
H'_z={H_z-\beta E_y\over \sqrt{1-\beta^2}}.$$

17. Обобщить закон преобразования векторов  $\vec E$  и  $\vec H$
при преобразовании Лоренца на  случай  произвольного  направления
вектора  относительной скорости $ \vec V$.

Ответ:
$$\vec E'_{||}=\vec E_{||},\ \ \ \ \ \ \vec H'_{||}=\vec H_{||},$$
$$\vec E'_{\perp}={\vec E_{\perp}+[\vec \beta \vec H]\over \sqrt{1-\beta^2}},\
\ \ \ \
\vec H'_{\perp}={\vec H_{\perp}-[\vec \beta \vec E]\over \sqrt{1-\beta^2}}.$$

18. В лабораторной системе координат угол между напряженностями полей
$\vec E $ и $\vec H $ равен $ \varphi $. Найти систему координат, в
которой они параллельны.  Всегда ли задача имеет решение?
Единственно ли оно?

Ответ:
$$\vec V=c[\vec E\vec H]\cdot {H^2+E^2-\sqrt{(H^2-E^2)^2+4(\vec E\vec H)^2}
\over 2[\vec E\vec H]^2}.$$

19. Электрон обладает спиновым моментом количества движения $ s , \
( s = \hbar/2 ) $  и связанным с ним магнитным моментом $
\mu = e s/(mc) $.  Оценить энергию взаимодействия
магнитного момента электрона в атоме водорода с кулоновским полем
ядра.

Ответ:
$$U_{int}\sim {e^2\over m^2c^2r^3}(\vec L\vec s),\ \ \ \ \
\vec L=m[\vec r\vec v].$$

20. Частица с массой \ $m_1$ \ и  скоростью \ $v_1$ \ поглощается
частицей массы \ $m_2$ \ , первоначально покоившейся. Найти массу \
$M$ \ и скорость \ $V$ \ образовавшейся частицы.

Ответ:
$$\vec V={m_1\vec v_1\over m_1+m_2\sqrt{1-v_1^2/c^2}},\ \ \ \ \ \
M^2=m_1^2+m_2^2+{2m_1m_2\over\sqrt{1-v_1^2/c^2}}.$$

21. Квант света с частотой \ $\omega_0$ \ рассеивается на
покоящемся свободном электроне. Найти зависимость частоты \ $\omega
$ \ рассеянного фотона от угла рассеяния $\theta $.

Ответ:
$$\omega={\omega_0\over 1-{\hbar \omega_0\over mc^2}(1-\cos\theta)}.$$

22. Найти пороговую энергию фоторождения \ $\pi^0$-мезона на
нуклоне: \ $n + \gamma \rightarrow n + \pi^0$~. Массы покоя
нуклона \ $M$ \ и \ $\pi^0$-мезона \ $m$ \ известны.

Ответ:
$${\cal E}_\gamma=\hbar \omega=mc^2\Big(1+{m\over 2M}\Big).$$

23. Найти массу системы, состоящей из двух фотонов одинаковой
частоты  $\omega,$  если угол между их волновыми векторами равен
 $\theta$.

Ответ:
$$M=2{\hbar\omega\over c^2}\sin\theta/2.$$

24. Релятивистская частица с зарядом \ $e$ \ и  массой \ $m$ \
движется с релятивистской скоростью в однородном электрическом поле
 \ $\vec Е$~.   При t = 0 частица находилась в начале координат и
имела импульс \ $\vec p_0 \perp \vec E$~.  Найти закон движения
частицы - явную зависимость \ $\vec r(t)$ \ и \ $\vec v(t)$~.

Ответ:
$$\vec v={c^2(e\vec E t+\vec p_0)\over \sqrt{p_0^2c^2+m^2c^4+c^2\vec E^2 t^2}},$$
$$\vec r=\{{1\over eE}\Big(\sqrt{p_0^2c^2+m^2c^4+c^2\vec E^2 t^2}-1\Big),
{cp_0\over eE}Arsh\Big({ceEt\over \sqrt{p_0^2c^2+m^2c^4}}\Big),0\}.$$

25. Точечный заряд  $q$  находится на расстоянии  $a$  от центра
заземленного проводящего шара радиуса  $R$. Найти потенциал,
плотность поверхностных зарядов и полный заряд, индуцированный на
шаре, энергию и силу взаимодействия.

Ответ:
$$\varphi ={q\over\sqrt{r^2+a^2-2ar\cos\theta}}-
{q\over\sqrt{a^2r^2/R^2+R^2-2aR\cos\theta}},$$
$$\sigma_S=-{q(a^2-R^2)\over 4\pi R(a^2+R^2-2aR\cos\theta)^{3/2}},\ \ \
Q=-qR/a,$$
$$U_{int}=-{q^2R\over 2(a^2-R^2)},\ \ \ \ \ \ F=-{q^2Ra\over (a^2-R^2)^2}.$$

26. Равномерно заряженная тонкая нить (линейная плотность заряда
$\kappa$ ) расположена на расстоянии  $a$  от оси проводящего
заземленного цилиндра радиуса  $R, \ a > R$. Найти потенциал
результирующего электрического поля и плотность
поверхностных зарядов на цилиндре.


Ответ:
$$\varphi=\kappa ln\Big\{{
(r^2+R^4/a^2+R^2-2R^2r\cos\theta/a)\over
(a^2+r^2-2ar\cos\theta)}\Big\}+2\kappa ln{a\over R},$$
$$\sigma_S={\kappa(R^2-a^2)\over 2\pi R
(a^2+R^2-2aR\cos\theta)}.$$

27. Проводящий шар радиуса $R$ разрезан на два полушария,
соединенные между собой, и помещен во внешнее однородное поле $Е_0,$
 направленное перпендикулярно плоскости разреза. Найти силу,
действующую на каждое из полушарий.

Ответ:
$$F={9\over 16}R^2E_0^2.$$

28. Заряд  $q$  расположен на расстоянии  $a$  от плоской границы
раздела двух полупространств с диэлектрическими проницаемостями
$\epsilon_1$ и $\epsilon_2$. Найти потенциал и силу действующую на заряд.

Ответ:
$$\varphi_1={q\over \varepsilon_1r_1}+{q( \varepsilon_1- \varepsilon_2)\over
 \varepsilon_1( \varepsilon_1+ \varepsilon_2)r_2}, (при\ z\geq 0),$$
$$\varphi_2={2q\over (\varepsilon_1+\varepsilon_2)r_1}, (при\ z\leq 0),\ \ \
\vec r_1=\{x,y,z-a\},\ \ \ \vec r_2=\{x,y,z+a\}$$
$$F=-{q^2(\varepsilon_1-\varepsilon_2)\over 4a^2\varepsilon_1
(\varepsilon_1+\varepsilon_2)}.$$
29. Найти высоту поднятия жидкости с плотностью массы $\rho_m$  и
диэлектрической проницаемостью $\epsilon $ между пластинами плоского
конденсатора, опущенными в жидкость, если между ними поддерживается
постоянная разность потенциалов  $V$, а расстояние между пластинами
равно $d$. Ускорение свободного падения равно $g.$

Ответ:
$$H={V^2(\varepsilon-1)\over 8\pi d^2\rho_mg}.$$

30. Диэлектрический шар радиуса  $a$  с диэлектрической
проницаемостью $\epsilon $.помещен в однородное внешнее
электрическое поле $Е_0$.  Найти потенциал.

Ответ:
$$\varphi_1=-{3\over (\varepsilon +2)}\big(\vec E_0\vec r\big),\ \ \ \
\varphi_2=-\big(\vec E_0\vec r\big)+{\big(\vec P\vec r\big)\over r^3},\ \
\vec P={(\varepsilon -1)\over (\varepsilon +2)}a^3 \vec E_0.$$

31. В плохо проводящую среду (например, электролит) опущены хорошо
проводящие стержни. Известны потенциал каждого стержня $U_k$ и полный
стекающий с него ток $J_k.$ Найти джоулево тепло, выделяющееся за единицу
времени.

Ответ:
$$Q=\sum\limits_{k=1}^NJ_kU_k.$$

32. Найти взаимную индукцию тонких коаксиальных колец с радиусaми
$a$ и  $b$ , лежащих в параллельных плоскостях. Расстояние между
плоскостями  $h$.  Рассмотреть случай  \ $h \gg а \sim b \gg r$,
где $r$ - толщина провода.

Ответ:
$$L={2\pi^2a^2b^2\over h^3}.$$

33. Проводящий шар (радиуса $R$, проводимостью $\sigma $ )
помещен во внешнее однородное магнитное поле $H=Н_0\cos (\omega t)$.
Найти магнитный момент шара  $\vec \mu $  и интенсивность излучения $I$,
если \ $\delta \ll R \ll c/ \omega$, где $\delta$ --
толщина скин-слоя.

Ответ:
$$\vec \mu=-{1\over 2}R^3\vec H,\ \ \ I={\omega^4R^6H^2\over 6 c^3}.$$

34.   Проводящий шар (радиуса $R$ , проводимостью $\sigma $ )
помещен во внешнее однородное магнитное поле $Н_0\cos (\omega t)$.
Найти магнитный момент шара  $\vec \mu $  и интенсивность излучения $I$ ,
если  \ $R \ll \delta \ll c/ \omega$, где $\delta$ --
толщина скин-слоя.

Ответ:
$$\vec \mu= {2\pi \sigma \omega R^5\over 15c^2}\vec H_0\sin \omega t,\ \ \
I={\omega^4\vec \mu^2\over 3 c^3}.$$

35.  Проводящий цилиндр радиуса  $R$ ,  высоты $h$ вращается вокруг
своей оси с угловой скоростью  $\omega $ в однородном постоянном
магнитном поле  $\vec В \perp \vec \omega $.  Оценить момент сил (при
\ $h \gg R , \ \delta \gg R$) , необходимых для поддержания
равномерного вращения.

Ответ:
$$ M=-{\pi \sigma\omega B^2R^4h\over 8 c^2}.$$

36. Пользуясь соотношениями Крамерса-Кронига, найти действительную
часть $\epsilon '(\omega )$  диэлектрической проницаемости по ее
мнимой части
$$\epsilon ''(\omega ) = (\epsilon_0 - 1)\cdot {\omega \nu\over
   \omega^2 + \nu^2} ,$$
где $\epsilon_0$  и $\nu $  --  постоянные параметры.

Ответ:
$$\epsilon '(\omega ) = 1+ (\epsilon_0 - 1)\cdot { \nu^2\over
   \omega^2 + \nu^2} .$$



\bye







24.1. Тонкий провод с током $J_0cos(\omega t)$ расположен
над плоской поверхностью идеального проводника на расстоянии
$a$ от нее.  Найти поле и распределение токов на поверхности
проводника при $\delta \ll a$.

Ответ:

