\documentstyle[russian,12pt,epsf]{article}

\begin{document}
\pagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\bf ����� �� ⥮���᪮� ��堭���}
\end{center}


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 1
\end{center}

��窠 �������� �� �����孮�� ���� ࠤ��� $R$ ⠪�� ��ࠧ��, ��
㣮� ����� �� ᪮����� � ��ਤ����� ���� ����ﭭ� � ࠢ��
$\alpha$. ���� �ࠥ���� �窨 � ����᪨� ���न����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 2
\end{center}

���� ����� �������� �����  ����� $m$ �  ����
$$
U(x) = - ax^2/2 +  bx^4/4, \quad a,~b>0~,
$$
�᫨ � ��砫�� ������ �p����� $t_0$ $x(t_0) = -\sqrt{2a/b}$, �
$\dot x(t_0) = 0$.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 3
\end{center}

���� �p��� ����p��� �p� �������� �����  ����� $m$ �� $x=-\infty$
�� $x=\infty$ �  ����
$$
U(x) = U_0/\mbox{ch}^2 ax, \quad U_0>0~,
$$
�� �p������� � �p������ �������� ����� � �� �� �p������ ⮩ ��
���p��� $E>U_0$, �� � ������⢨� ���譥�� ����.
���ᬮ�p��� ⠪�� ��砩 $E \to U_0$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 4
\end{center}

����� ����� $m$ �������� �� ��� ࠤ��� $R$ � ���� ᨫ� �殮��.
���� ��⥣ࠫ� �������� � ����� �������� (� ���������).

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 5
\end{center}

���� �p��� ������� �����  ����� $m$ � 業�p ����
$$
U(r) = - b/r^2, \quad b>0~,
$$
� p����ﭨ� $R$, �p� �᫮��� $L_0^2/2m<b$, $E_0>0$.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 6
\end{center}

���� �p����p�� (� 㣫���� p����ﭨ� ����� ���� ��᫥����⥫�묨
�p�宦����ﬨ �祪 $r_{min}$) �����  ����� $m$ � 業�p��쭮� ����
$$
 U(r) = - a/r - b/r^2, \quad a,~b>0~,
$$
�p� �᫮��� $L_0^2/2m>b$, $E_0<0$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 7
\end{center}

���� �祭�� ���ﭨ� ��� ���� ����� $m$, ��������� � ��⥭樠��
$U(r) = \alpha/ r^2$ � ���ࣨ�� $E$ �� $\alpha > 0$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 8
\end{center}

���� �祭�� ������� �� 業�� ��� ���� ����� $m$, ��������� � ��⥭樠��
$$
U(r) = \frac{\alpha}{r^2} - \frac{\beta}{r^4}
$$
� ���ࣨ�� $E$.

\pagebreak

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 9
\end{center}

��থ�� ����� $m$ � ����� $l$ ᪮�짨� �� ��஭�� ��אַ�� 㣫� ���
�७��. ������� �㭪�� ���࠭�� � ���� ����� �������� � ���������.

\begin{center}
����� N 10
\end{center}

��থ�� ����� $m$ � ����� $l$ ����� ��������� � ���⨪��쭮� ���᪮��
(��������� ᨫ� �殮��). ���� �� ���殢 ��ভ� ᪮�짨� ��
��ਧ��⠫쭮� ��אַ�. ������� �㭪�� ���࠭�� � ���� ����� ��������
� ���������.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 11
\end{center}

���� ��������� ���p��� ����p������ ����� � 㣫�� p��⢮p�
$2\alpha$ � ���⮩ $h$, ����饣��� ��� �p�᪠��뢠��� ��
���᪮��, �᫨ ������� ������� ���p樨 �⭮�⥫쭮 ������� �ᥩ $I_1$ �
$I_3$ � ���� ����� $m$.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 12
\end{center}

����த�� 樫���� ����� $M$ � ࠤ��� $R$ �� ����ﭨ� a �� ��,
��ࠫ���쭮 ��, ��⪭�� ⮭��� ����த�� ��ভ�� ����� $m$. �������
��४��뢠���� ��� ��᪠��뢠��� � ��ਧ��⠫쭮� ���᪮��. ����
����� ����� ��������� ������ ��������� ࠢ������.

\pagebreak

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 13
\end{center}

���� ����� ����� ��������� ��⥬�, ����ࠦ����� �� ��㭪�, �᫨ �
��砫�� ������ �६��� ��㦨�� �� �������, � ᪮��� ���� �����
$m$ � $2m$ ࠢ�� $v_1$ � $v_2$ ᮮ⢥��⢥���. �����, �� ��㦨�� ��
����������, � ���� �殮�� ���������.

\hspace*{3cm}
\epsfxsize6.0truecm\epsfbox{fig2.eps}


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 14
\end{center}

�� ��ᨭ� � ���ᠬ� $m$, $m$, $2m$ �������� �� ������� ��אַ��������
�����. ��ᨭ� �९���� ��㦨���� � �����樥�⠬� ���⪮�� $k$ � $2k$
� ��������묨 ������� $l$ � �����ନ஢����� ���ﭨ�. ���� ��ଠ���
��������� ��⥬�.


\begin{center}
����� N 15
\end{center}

���� ᮡ�⢥��� ����� � ��㦤���� ��������� ��⥬�, ����������
�� ��㭪�, �᫨ �窠 $A$ ᮢ��蠥� ������⥫쭮� �������� �� ������
$\alpha(t) =a\,\mbox{cos}(\gamma t)$. ������ ����� ��������� ⮫쪮 ��
���㦭��� ࠤ��� $R$, ���� �殮�� ���������. �� ��㦨�� ���������
� ����� �����樥�� ���⪮�� $k$.

\hspace*{3cm}
\epsfxsize4.0truecm\epsfbox{fig3.eps}

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 16
\end{center}

���⠢��� �㭪�� � �p������� ���p���� ��p鸞 $e$  ����� $m$ �
����p����� �����⭮� ���� ${\bf H}$ (� �����p���� ����p���� ��⥭樠��
${\bf A}=(0, xH, 0)$) � �p����樮���� ���� ${\bf g}=(0,0, -g)$.
������� ��p�� ��⥣p��� �p������� ���p����. ���� ����� �������� ��p鸞,
�᫨ � ��砫�� ������ �p����� $t_0 = 0$ p����� ����p ����� ${\bf r}(0) =
{\bf r}_0$, � ����p ᪮p���  ${\bf \dot r}(0) = {\bf \dot r}_0$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 17
\end{center}

����� � ���ᮩ $m$ � ���冷� $e$ ����� ��������� �� �����孮�� �����
� 㣫�� �� ���設� $2\alpha$, �� �� ���ண� ���ࠢ���� ����ﭭ��
� ����த��� �����⭮� ���� ${\bf H}_0$. ��� ����� ���⨪��쭠, ���� 
�殮�� ���������. ������� �㭪�� ���࠭�� � 樫�����᪨� ���न����
� ���� ����� �������� � ���������.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 18
\end{center}

����� ����� $m$ � ���冷� $e$ �������� � �����⭮� ����
${\bf H}=H_0 {\bf e}_z$ � ���� �殮�� ${\bf g} = - g {\bf e}_z$
�� �����孮�� ��ࠡ������ $a z = x^2+y^2$. ������� �㭪��
������⮭� � 樫�����᪨� ���न����, 㪠���� ��⥣ࠫ� ��������
� ���� ����� �������� � ���������.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 19
\end{center}

����� ����� $m$ � ���冷� $e$ �������� �� �����孮�� 
���⨪��쭮�� ����� � 㣫�� �� ���設� $2\alpha$ � ���� �殮�� 
${\bf g} = - g {\bf e}_z$. � ���設� ����� ���९��� ���� $Q$. 
������� �㭪�� ������⮭�, 㪠���� ��⥣ࠫ� �������� � ���� 
����� ��������.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 20
\end{center}

C��⠢��� �㭪�� � �p������� ���p���� ��p鸞 $e$  ����� $m$, ��室�饣���
����� ������� (�pאַ�) �p㡪� ��祧��� ������ ࠤ���, ����������� �
��p⨪��쭮� ��, �p�室�饩 �p�� �p㡪�, ��� 㣫�� $\alpha$, � �p���饩��
���p� ��p⨪��쭮� �� � ����ﭭ�� 㣫���� ᪮p����� $\omega$. ����� ��
�p�饭�� �������� ���� �殮�� ${\bf g}$ � �����⭮� ���� ${\bf H}$.
���� ��p�� ��⥣p�� �p������� ���p����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 21
\end{center}

���⠢��� �㭪�� � �p������� ���p���� ��p鸞 $e$  ����� $m$, ��室�饣���
����� ������� �p㡪� ��祧��� ������ ࠤ���, ������⮩ � �p�� ������
� �����ﬨ $a$ � $b$. �p㡪� �p�頥��� � ����ﭭ�� 㣫���� ᪮p�����
$\omega$ ���p� �� ������. ����� �� �p�饭�� ������� ���� �殮��
${\bf g}$ � �����⭮� ���� ${\bf H}$. ����  ��p�� ��⥣p�� �p�������
���p����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 22
\end{center}

���⠢��� �㭪�� � �p������� ���p���� ��p鸞 $e$  ����� $m$, ��室�饣���
����� ������� �p㡪� ��祧��� ������ ࠤ���, ������⮩ � �p�� ��p㦭���
p����� $R$. �p㡪� �p�頥��� � ����ﭭ�� 㣫���� ᪮p����� $\omega$ ���p�
������p� ��p㦭���. ����� �� �p�饭�� ������� ���� �殮�� ${\bf g}$ �
�����⭮� ���� ${\bf H}$. ����  ��p�� ��⥣p�� �p������� ���p����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 23
\end{center}

���᫨�� ᪮��� ���ᮭ� $[v_i,v_j]$, ��� $v_i$ - ����p⮢�
���������� ����p� ᪮p��� ��p鸞 $e$, ����� $m$
� ����p����� �����⭮� ���� ${\bf H}$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 24
\end{center}

���᫨�� ᪮��� ���ᮭ� $[{\bf (rp),L}]$, ���
${\bf (rp)}$--᪠��p��� �p���������� p�����-����p� � ����p� ������,
� ${\bf L}$-- ����p ������ ������ �����.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 25
\end{center}

���������, �� �८�ࠧ������
$$
Q = \frac{m\omega q+ip}{\sqrt{2m\omega}} e^{i\omega t};\qquad
P = i\frac{m\omega q-ip}{\sqrt{2m\omega}} e^{-i\omega t}
$$

\noindent
���� �������᪨� � ���� ��� �ந�������� �㭪��. ��� ��⥬�,
����뢠���� ������⮭�����
$$
H = \frac{p^2}{2m} + \frac{m\omega^2 q^2}{2}
$$
����ந�� ����� �㭪�� ������⮭� � ������� �ࠢ����� ������⮭� �
��६����� $Q$ � $P$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 26
\end{center}

����� ����� $m$ �������� � 業�ࠫ쭮� ���� $U(r)$. � �������
�ࠢ����� ������⮭�-����� � ����᪨� ���न���� ���� �� �ࠥ����
� ����� �������� (� ����p���p��).

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 27
\end{center}


$$L=\frac{m}{2}(\dot \rho^2 +\rho^2 \dot\varphi^2)
- \frac{a\ \mbox{cos}\varphi}{\rho^2}$$
���� ����� �������� (� ���������) ��⮤��
������⮭�-�����. ($a$ - ������� ����ﭭ��)


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 28
\end{center}

$$
L=\frac{m}{2}\Big(\dot r^2+r^2\dot\theta^2
+r^2\mbox{sin}^2\theta \dot\varphi^2 \Big) - a \mbox{cos}
\theta\dot\varphi
$$
���� ����� �������� (� ���������) ��⮤�� ������⮭�-�����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 29
\end{center}

���� �p����p�� � ����� �������� ��p鸞 $e$, ����� $m$ �
����p����� �����⭮� ���� ${\bf H}$ (� ����p⮢�� ���p������)
� ������� �p������� ������⮭�-�����.

\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 30
\end{center}


��� ��������� ��堭��᪠� ���p��� ��⥬�, ����뢠����
���p��������
$$
L=m(\dot x_1^2+\dot x_2^2)/2-k(x_1^2+2x_2^2-x_1x_2)/2,
$$
��� $m,k>0$ �p� ��������᪮� ��������� ��p����p� $k$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 31
\end{center}

��⥬���᪨� ���⭨� ᮢ��蠥� ��������� � ���᪮��, �ᯮ��������
��� 㣫�� $\alpha$ � ���⨪���. ��।����� ��� ���� �������� ������㤠
��������� �� ��������� ��������� 㣫� $\alpha$.


\vspace{1cm}
\begin{center}
����� N 32
\end{center}

��� ��������� ���p��� ����� � ���ᮩ $m$ � ��p冷� $e$
� 業�p��쭮� ���� $U(r)$  �p� ��������� (��������᪮�) ����祭�� ᫠����
����p������ �����⭮�� ���� ���p殮����� $H$.

\end{document}



