Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
Кафедра квантовой теории и физики высоких энергий

Основы теории перенормировок и ренормгруппы в квантовой теории поля

Лектор д.ф.м.н. Ильин В.А.
8 -й семестр

Пример UV расходимости: вычисление функции Грина с четырьмя внешними линиями в модели 4 в 1-м приближении. Ввод локальных контрчленов как общий рецепт борьбы с UV-расходимостями. 1-петлевая перенормировка заряда в модели 4. Сильносвязанные функции Грина и эффективное действие. Условия нормировки и контрчлены, конечная перенормировка. Схемы регуляризации: импульсное обрезание, Паули-Вилларса, размерная. Вычисление поляризационного оператора в QED в регуляризациях Паули-Вилларса и размерной.

Рекуррентная ренормсхема. Вычитания как способ выделения UV-сингулярностей из амплитуд Фейнмана. MS и схемы перенормировок функций Грина. Явное решение рекуррентной ренормсхемы, "лесная" и "трехточечная" формула. Индекс вершины, критерий перенормируемости.

Перенормировки в калибровочных теориях. Структура UV-расходимостей в QED. Выделение UV-сингулярностей из 1-петлевых сильносвязанных функций Грина в QED. Тождества Уорда в QED. Понятие калибровочно-инвариантной регуляризации. Структура контрчленов в QED. Условия нормировки в схеме перенормировок на массовой поверхности (СПМП). Конечная перенормировка для перехода от схемы к СПМП. BRST симметрии в теории поля Янга-Миллса. Структура контрчленов.

Проблема инфракрасных расходимостей в QED. IR расходящиеся 1-петлевые функции Грина. Введение массы фотона в знаменатель пропагатора как регулятора IR сингулярности. Выделение IR сингулярностей в 1-петлевых функциях Грина. Суммирование по мягким фотонам, сокращение IR сингулярностей в инклюзивном сечении.

Введение в теорию ренормгруппы. Конечные перенормировки, не изменяющие перенормированные функции Грина. Изменение точки нормировки четырехточечной функции Грина как способ изучения UV асимптотик функций Грина. Общие уравнения ренормгруппы. Вывод инфинитезимальных ренормгрупповых уравнений в модели 4 и в QED. Вычисление -функций в этих моделях. Нули -функции и асимптотическое поведение функций Грина. Асимптотическая свобода.

Теория гравитационного поля

профессор Лоскутов Ю.М.
8-й семестр

Общие положения полевой теории гравитации с нулевой массой гравитона (фундаментальность пространства Минковского. Принцип геометризации и понятие гравитационного поля. Калибровочный принцип. Плотность лагранжиана гравитационного поля, нарушение калибровочной группы). Системы основных уравнений теории гравитации, условие их замкнутости.

Основные гравитационные эффекты в поле Солнца (отклонение лучей, гравитационное запаздывание, смещение перигелия). Центрально-симметричная задача; внешнее решение. Невозможность существования объектов с радиусами, меньшими радиуса Шварцшильда; эффект оттаклкивания. Эволюция однородной изотропной Вселенной; евклидовость метрики трехмерного пространства, пульсирующий характер эволюции между состояниями с минимальной и максимальной плотностями вещества, скрытая масса, отсутствие тяжелых монополей. Излучение массивных гравитонов; положительная определенность энергетических потерь на излучение, спектрально-угловые, поляризационные и спиновые характеристики излучения.

Основы стандартной модели

ст.н.сотр. Самохин А.П.
8-9 семестры

Основные принципы. Частицы и их взаимодействия. Порядки величин, единицы и язык описания. Свойства частиц, квантовые числа. Распады и времена жизни. Классификация частиц и взаимодействий. Кварковая модель. Упругое рассеяние и множественное рождение. Основные характеристики упругих и неупругих процессов и их смысл. e⁺e^-, eh, hh-взаимодействия. Симметрии и законы сохранения. Пространственно-временные и внутренние симметрии. Их роль в построении теории фундаментальных взаимодействий. Структура частиц. Лептоны, кварки и калибровочные бозоны. Калибровочные теории. Квантовая электродинамика. Стандартная Модель фундаментальных взаимодействий. Кварки, глюоны и спектроскопия адронов. Правила кваркового счета. Квантовая хромодинамика. Асимптотическая свобода и расчеты жестких процессов в квантовой хромодинамике. Партонная модель, скейлинг и КХД. Мягкие процессы в адронной физике и конфайнмент КХД. Редже-феноменология, дуальные амплитуды, струны. Электрослабое взаимодействие. Структура теории, заряженные и нейтральные токи. Спонтанное нарушение калибровочной симметрии. Расчет основных электрослабых процессов. Кварковое смешивание. Третье поколение и нарушение СР-инвариантности. Физика тяжелых кварков, рождение и распады W, Z и H-бозонов. Расширение Стандартной Модели.

Современные теоретические проблемы физики высоких энергий

ст.н.сотр. А.П.Самохин
10 семестр

Обзор важнейших положений и актуальных проблем современной физики высоких энергий, на проверку и решение которых нацелены текущие и планируемые на будущее измерительные и поисковые эксперименты. Критическая проверка следствий КХД, проблема глюболов, структура адронов, конфайнмент и мягкая адронная физика при больших энергиях (теория и эксперимент). Физика тяжелых кварков., B-физика, t-кварк, -лептон - современное состояние. Физика калибровочных W^pm и Z⁰-бозонов (теория и экспериментальные данные ). Проблема бозона Хиггса - современная теоретическая и экспериментальная ситуация. Масса и природа нейтрино, нейтринные осцилляции, солнечные нейтрино (теория и эксперимент). Дискретные симметрии и редкие процессы, нарушение СР-инвариантности, проверка СРТ-инвариантности (современная ситуация). Проблема масс фундаментальных фермионов, проблема поколений и горизонтальная симметрия, природа смешивания. Распад протона и другие следствия расширений Стандартной Модели (СМ). Тесты на новый уровень составленности; следствия суперсимметричных расширений СМ; возможные следствия теории суперструн и квантовых групп.

Теория групп

профессор В.Г.Кадышевский
6,7 семестры

Определение и примеры групп. Простейшие теоремы теории групп. Линейные представления групп. Простейшие теоремы о линейных представлениях групп. Группа вращений. Параметризации группы вращений. Линейные представления группы вращений. Матричные элементы генераторов. Разложения произведения двух неприводимых представлений на неприводимые, коэффициента Клебша-Гордона. Тензорные представления . Спинорные представления. Неприводимые тензоры, матричные элементы неприводимых тензоров. Группа SU(2). Группа Лоренца. Конечномерные представления ограниченной группы Лоренца. Спинорные представления группы Лоренца. Разложение произведения двух неприводимых представлений группы Лоренца на неприводимые. Представления общей группы Лоренца. Группа Пуанкаре. Линейные представления группы Пуанкаре с нулевой и ненулевой массами. Лоренц-базис группы Пуанкаре. Группа SU(3). Разложение групп по SU(2)-подгруппам , корни и веса. Группы SU(N).

Введение в физику элементарных частиц

академик Матвеев В.А.
8,9 семестры

Курс лекций, посвящен современным представлениям о структуре элементарных частиц и их взаимодействий. Подробно разбираются симметрии феноменологических моделей в физике частиц и построение на их основе Стандартной Модели, описывающей все явления в микромире в рамках представлений о калибровочных взаимодействиях кварков и лептонов. Анализируются проблемы такого подхода и возможности их устранения при унифицированном описании всех фундаментальных взваимодействий. Рассмотрен ряд возможных модификаций Стандартной Модели: Великое Объединение, применение идей техницвета, суперсимметрии, многомерные и нелокальные (струнные) модели. Обсуждается связь концепций физики элементарных частиц и теории поля с современным развитием астрофизики и космологии.

Симметрии в физике элементарных частиц

ст.преп. Ю.М.Зиновьев
8 семестр

Группы и их свойства. Определение группы, подгруппы. Прямое произведение групп. Линейная алгебра и векторные пространства . Линейное векторное пространство и его размерность. Скалярное произведение и метрика. Линейные операторы и их матричные элементы. Сопряженный оператор, унитарные и эрмитовые операторы. Собственные векторы и собственные значения. Индуцированное преобразование. Представления групп. Опрделение представления. Инвариантные пространства и неприводимость. Леммы Шура. Прямое произведение представлений и представление прямого произведения групп. Неприводимые наборы операторов. Непрерывные группы. Определение. Инфинитеземальные операторы и их свойства. Преобразование операторов и коммутационные соотношения. Группа двухмерных вращений 0(2). Группа трехмерных вращений 0(3). Определение, генераторы, коммутационные соотношения, оператор Казимира. Представления с целым спином - тензорны представления. Индуцированные представления - поля: скалярное, векторное и тензорное. Спинорные представления группы вращений и ее изоморфизм с группой SU(2). Мультиспиноры. Группа SU(3). Определение, генераторы, неприводимые представления. Примеры представлений. Кварковая модель адронов. Общая классификация частиц. Классификация адронов по представлениям группы SU(3). Кварки и их свойства. Кварковая модель адронов и траектории Редже. Группа Лоренца. Пространство Минковского, метрика, координаты. Генераторы группы Лоренца, коммутационные соотношения, операторы Казимира. Векторы и тензоры. -матрицы, их свойства. Спинорное представление. Разложение произведения двух спинорных представлений на неприводимые. Группа Пуанкаре. Генераторы, комутационные соотношения и операторы Казимира. Классификация представлений. Определение массы спина и спиральности. Основные принципы ЛКТП и симметрии в ЛКТП. Свободные поля. Лагранжианы свободных полей со спинами 0, 1/2 и 1, выбор параметров. Калибровочная инвариантность для векторного поля. Теорема Нетер и динамические инварианты. Абелева калибровочная симметрия и электромагнитные взаимодействия. Неабелевы калибровочные симметрии и взаимодействия.

Введение в суперсимметрии, супергравитацию и суперструны

канд.ф.м.н. Ю.М.Зиновьев
9,10 семестры

Проблемы стандартной модели сильных, слабых и электроимагнитных взаимодействий. Примеры суперсимметричных лагранжианов. Реализация N=1 супералгебры на суперпространстве. Киральное и векторное суперполя. Инварианты. Примеры суперсимметричных моделей: Весса-Зумино, аксиальная калибровочная теория, супер-КЭД. Спонтанное нарушение симметрии в глобально симметричных теориях. Калибровочные теории с расширенными (N=2 и N=4) суперсимметриями. Частица со спином s=2, тетрадный формализм в гравитации. Частица со спином s=3/2, N=1 супергравитация. Примеры взаимодействия N=1 супергравитации с материей. Спонтанное нарушение симметрии в супергравитации. Классификация расширенных супергравитаций. Спонтанная компактификация. Свойства N=1 D=11 и N=1,2 D=10 супергравитаций. Бозонная струна, действие и его симметрии. Квантование бозонной струны и спектр масс. Критическая размерность. Элементы двумерной конформной теории поля. Вершинные операторы и амплитуды бозонной струны. Суперструна, квантование, спектр масс, суперсимметрия. Внутренние симметрии и гетеротическая струна. Компактификация в струнах. Однопетлевые амплитуды и модулярная инвариантность. 4-х-мерные суперструны, методы построения и основные свойства.

Теория спиновых явлений в физике частиц

профессор Тюрин Н.Е.
10 семестр

История возникновения понятия спина. Релятивистская инвариантность и спин. Спиральный базис и амплитуды. Наблюдаемые, связанные со спином. Спиновая матрица плотности. Ограничения на наблюдаемые. Обзор основных экспериментальных результатов, связанных с изучением спиновых явлений при высоких энергиях. Спиновые эффекты при фиксированных значениях t. Полюса Редже. Абсорбционные модели. Вклад померона. Геометрические модели. Унитарность и обобщенная матрица реакций. Квантовая хромодинамика и спин. Киральность и сохранение спиральности. Партонная картина. Теоремы факторизации. Эксклюзивные и инклюзивные процессы в КХД. Описание эксклюзивных процессов. Модель кваркового обмена. Резонансные вклады. Дикварки. Инстантоны. Квантовая геометродинамика. Использование метода U-матрицы. Описание спиновых эффектов в инклюзивных реакциях. Реджевская модель. Поляризация и вазимодействие в конечном состоянии. Поляризация гиперонов. Односпиновые асимметрии в центральной области. Спиновая структура адронов. Процесс глубоконеупругого рассеяния. Структурная функция g1 и спин протона. Непертурбативные модели. Партонная интерпретация структурной функции g1(x,Q2). Эволюция спиновых плотностей с Q2. Поляризация глюонов. Поперечный спин. Перспективы изучения спиновых явлений. Спиновые явления и электрослабые взаимодействия. Поиски новых частиц и спиновые эффекты. Спиновые эффекты в e+ e- -столкновениях. Спин и проверка КХД. Изучение спиновой структуры нуклонов.

Квантовые поля

академик Ширков Д.В.
7,8 семестры

Свободные классические поля. Лагранжев формализм. Динамические инварианты. Примеры основных полей (скалярное, электромагнитное, спинорное). Квантовые свободные поля. Схемы квантования полей. Различные типы перестановочных соотношений. Связь спина со статистикой. Квантовые скалярное, спинорное и электромагнитное поля. Взаимодействия квантовых полей. Квантовые системы с взаимодействием. Лагранжианы взаимодействия. Неабелевы калибровочные поля. Матрица рассеяния.Общие свойства матрицы рассеяния. Аксиоматическое построение матрицы рассеяния. Построение матрицы рассеяния по теории возмущений. Хронологическая экспонента и теоремы Вика. Диаграммы и правила Фейнмана. Построение диаграмм и правил Фейнмана для различных теорий. Структура матричных элементов матрицы рассеяния. Вычисление вероятностей процессов. Техника вычисления фейнмановских интегралов. Расходимости и перенормировка в квантовой теории поля. Причина и структура расходимостей фейнмановских диаграмм. Свойство перенормируемости. Полные функции Грина. Процедура перенормировок. Квантовополевые модели фундаментальных взаимодействий. Электрослабые взаимодействия. Квантовая хромодинамика. Тендеции развития квантовой теории поля.

Автоматизация теоретических вычислений

научн.сотр. Ильина В.А.
6-й семестр.

Программирование на языке "С". Синтаксис языка, ядро языка "С" и стандартные библиотечные функции. Реализация элементарных численных методов на языке "С". Работа с параметрами командной строки, файлами, массивами, строками, ссылками, структурами, динамическая аллокация массивов. Использование языка "С" для простейших аналитических вычислений. Графические библиотеки Watcom/Microsoft для языка "C" в MSDOS, элементарные графические алгоритмы, первоначальные сведения о PostScript.

Солитоны, инстантоны и кварковые мешки

профессор К.А.Свешников
7-й семестр

Нелинейный характер основных теоретико-полевых моделей физики частиц. Солитонные решения как способ описания протяженных частиц. Основные свойства солитонных решений (топологические индексы, устойчивость, нелинейное взаимодействие между собой). Мешки как самосогласованный предел солитонной конфигурации, их связь с физикой адронов. Двумерные солитоны. Автоволны. $\varphi^4$-кинк, его основные свойства и область физических приложений. Уравнение Синус-Гордон как пример модели, допускающей точные многосолитонные решения. Метод обратной задачи. Многосолитонные решения ур-ния Синус-Гордон. Бризеры как связанные состояния солитон-антисолитон. Рассеяние солитонов. Специфика СГ-модели. Уравнение Синус-Гордон и массивная модель Тирринга. Теорема об эквивалентности. Бозонизация в 1+1 D. Мешки в 1+1 D. Точное решение для бозонной МIT-модели. Многомерные солитоны. Нелинейная O(3)-модель изотропного ферромагнетика. Топологический анализ как метод поиска решений и их топологическая устойчивость. Неабелевый магнитный монополь. Метод поиска решения. Неабелевый магнитный монополь. Свойства решения. Киральные -модели, их связь с низкоэнергетической физикой сильных взаимодействий. Модель Скирма. SU(2)-cкирмион. Метод поиска решения и его свойства. Скирмион как модель бариона. Плюсы и минусы. Инстантоны как солитонные решения евклидовых уравнений. Простейшие примеры (частица в потенциале с двумя ямами). Инстантоны и туннелирование (простейшие квантовомеханические примеры). Инстантонные решения в CPN моделях. Инстантоны Янга-Миллса. Метод поиска решений. Инстантоны Янга-Миллса. Свойства решений. Инстантоны в квантовой теории поля. Абелева модель Хиггса. Инстантоны Янга-Миллса и -вакуумы. Низкоэнергетический предел КХД с учетом инстантонных вакуумных флуктуаций. Гибридная киральная модель барионов.

Численные методы в теоретической физике

доцент Силаев П.К.
7, 8-й семестры

Решение систем линейных уравнений, LU-разложение, вычисление детерминантов. Основные алгоритмы вычисления сумм рядов и цепных дробей. Ускорение сходимости знакопеременного ряда. Вычисление специальных функций. Основные квадратурные алгоритмы, метод Ромберга, Гауссово интегрирование. Генераторы псевдослучайных чисел. Основные алгоритмы поиска одномерных корней и минимумов, метод Брендта. Основные алгоритмы поиска многомерных корней и минимумов, метод Пауэлла, метод сопряженных градиентов, итерационный метод, динамический метод. Быстрое преобразование Фурье, фильтры, метод максимальной энтропии. Поиск собственных векторов и собственных значений, метод Якоби, LQ-алгоритм. Обыкновенные дифференциальные уравнения, задача Коши, метод Рунге-Кутта 5-го порядка, метод Стоера. Краевая задача, метод стрельбы, релаксационные методы, динамическая аллокация решетки. Интегральные уравнения. Регуляризация некорректно поставленных задач. Дифференциальные уравнения в частных производных, устойчивость разностных схем, параболические и эллиптические уравнения, разложения по базису, явные и неявные схемы, сохранение потока и унитарность.

Квантовая теория поля

Профессор Д.А.Славнов
7-8 семестры

Квантовая теория поля и физика фундаментальных взаимодействий.

Этапы развития КТП. Обзор математического аппарата КТП. Квантовая теория систем тождественных частиц. Принцип неразличимости. Бозоны и фермионы. Операторы рождения и уничтожения. Канонические перстановочные соотношения. Пространство Фока. Операторы наблюдаемых величин. Квантовые поля. Алгебры Грассмана. Требования релятивистской инвариантности в КТП. Симметрии и законы сохранения. Теорема Нетер. Свободное скалярное поле. Интегралы движения. Перестановочные функции. Свободное спинорное поле. Массивное векторное поле. Условие Лоренца и физические степени свободы. Безмассовое векторное поле. Индефинитная метрика. Постановка задачи рассеяния в КТП. Матрицы рассеяния. Хронологическое произведение операторов. Теорема Вика. Построение S-матрицы в теории возмущений. Фейнмановская диаграммная техника. Алгоритмы вычисления наблюдаемых величин в теории возмущений. Производящий функционал функций Грина. Редукционные формулы. Функциональные интегралы в КТП. Производящий функционал связных функций Грина. Основы теории калибровочных полей. Принцип локальной калибровочной инвариантности. Квантовая электродинамика. Неабелевы калибровочные поля. Теория Янга-Миллса. Спонтанное нарущение симметрии в калибробровочных теориях. Механизм Хиггса. Унитарная калибровка и спектр масс физических частиц. Стандартная модель фундаментальных взаимодействий. Требование симметрии и структура лагранжиана.

Теория калибровочных полей

Профессор Ю.С.Вернов
9-10 семестры

Основные положения квантовой теории. Алгебра наблюдаемых и полевая алгебра. Соответствие между абстрактными алгебрами и алгебрами операторов в гильбертовом пространстве. Неприводимые представления алгебры наблюдаемых. Правила суперотбора. Постулаты квантовой теории калибровочных полей. Ковариантные калибровки. Индефинитная метрика. Основные свойства пространства с индефинитным скалярным произведением. Пространство Крейна. Функции Уайтмана, их свойства в x и p-пространствах. Представление Челена-Лемана. Несуществование квантованного поля, заданного в точке. Классы обобщенных функций, используемые в квантовой теории поля. Теорема реконструкции Уайтмана и ее обобщение для калибровочных полей. Аналитические свойства фукнкции Уайтмана в х-пространстве. Теорема Баргмана-Холла-Уайтмана. Точки Йоста. ТСР-теорема. Теоремы о связи спина и статистики. Классы эквивалентности Борхерса. Классные свойства функций Уайтмана и проблема единственности вакуума. Теорема Хаага. Неэквивалентные представления канонических коммутационных соотношений. Теоремы Ри и Шлидера. Абелевы калибровочные теории. Проблема заряженных состояний. Правила суперотбору по заряду и локальной формулировке квантовой электродинамики. Неабелевы калибровочные теории. БРСТ-квантование. Представление БРС-алгебры. Проблема конфайнмента . Спонтанное нарушение симметрии. Эффект Хиггса и теорема Голдстоуна. Точно решаемые модели теории поля. Редукционные формулы. Аналитические свойства амплитуд рассеяния. Дисперсионные соотношения и правила сумм. Представление Йоста-Лемана-Дайсона. Эллипсы Лемана и Мартена. Теорема Померанчука, неравенство Фруассара-Мартена и другие ограничения, вытекающие из аналитичности, кроссинг-симметрии и унитарности.