Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
Кафедра компьютерных методов физики

Экстремальные задачи

профессор, д.ф.-м.н. Чуличков А.И.
7семестр, 36 часов

В курсе излагаются теоремы существования и единственности решения задач на минимум в конечномерных и бесконечномерных евклидовых пространствах, а также основы теории минимакса и вариационного исчисления. Дается понятие о задачах оптимального управления, о принципе максимума и динамическом программировании.

Линейные стохастические измерительно-вычислительные системы

профессор, д.ф.-м.н. Чуличков А.И.
8 семестр, 32 часа.

В курсе изучаются основные идеи теории измерительно-вычислительных систем. Рассматриваются наиболее распространенные математические модели измерений, даются математические методы интерпретации измерений как решения задач редукции к некоторому "идеальному прибору". Излагаются основы надежности модели измерений и надежности результата интерпретации. Рассматривается модель диалога исследователя с измерительно-вычислительной системой.

Математические модели нелинейной динамики

профессор, д.ф.-м.н. Чуличков А.И.
10 семестр, 36 часов.

В курсе излагаются основные подходы к изучению нелинейных систем - приближенные количественные методы (малого параметра, линеаризации, усреднения) и качественные методы (классификации особых точек, методы фазовых портретов, методы теории катастроф). Изучаются описания систем с динамическим хаосом, причины его возникновения, сценарии перехода к хаосу. Рассматриваются основные математические модели нелинейных систем механики, физик, биологии, активных сред, химической кинетики, нейронных сетей, клеточных автоматов.

Дискретный анализ

доцент, к.ф.-м.н. Филатова С.А.
8 семестр, 32 часа.

В курсе излагаются основания теории множеств и математической логики, включая многозначную и нечеткую логики; теория инвариантов; алгебраическая теория групп, изучаются сложные алгебраические структуры, особое внимание уделяется теории решеток.

Расширенные функции пакета MATLAB
(факультативный спецкурс для студентов старших курсов, аспирантов и сотрудников)

н.с. Иванов А.П.
36 часов.

Спецкурс посвящен изучению расширенных функций математического пакета MATLAB, не входящих в базовый курс: использование программных интерфейсов MATLAB для написания своих модулей к нему на языке C/C++, объектно-ориентированное программирование с использованием классов, генерация отчетов и взаимодействие с офисными пакетами. Вторая часть курса посвящена изучению некоторых дополнительных пакетов (Toolboxes) MATLAB, не входящих в базовую поставку.

Расширенные функции пакета MATLAB

н.с. Иванов А.П.
10 семестр, 36 часов.

Спецкурс посвящен классическим алгоритмам решения различных задач программирования: сортировке, поиска, основным структурам данных, содержит большой иллюстративный материал и описание современных стандартных библиотек, реализующих эти алгоритмы. По каждой теме спецкурса студенты выполняют и сдают индивидуальные практические задания.

Статистические и возможностные методы принятия решений

ассистент, к.ф.-м.н. Марченко С.В.
10 семестр, 32 часа.

В курсе такие вопросы, как рандомизация, выбор эксперимента, инвариантность и несмещенность, рассматриваются в непосредственной связи с проблемой статистического вывода. Проводится сравнительный анализ общей проблемы принятия решения, основанного на минимизации функции потерь, в статистике и теории возможностей. Дан подробный анализ доверительного и фидуциального подхода в теории интервального оценивания. Анализ проводится на примере "задачи о двух средних". На конкретных примерах показано использование понятия надежности интерпретации как важного элемента в теории статистического вывода.

Введение в математические методы интерпретации измерений

доцент, к.ф.-м.н. Матвеева Т.В.
6 семестр, 32 часа.

В первой части спецкурса рассматриваются основные понятия линейной алгебры, такие как линейное пространство, базис, линейные операторы, матричное представление операторов. Приводятся канонические формы матриц и линейных операторов, в том числе жорданова нормальная форма. Рассматриваются собственные векторы и собственные значения операторов, полярное разложение. Приводятся матрицы специального вида, в том числе симметрические, эрмитовы, нормальные, блочные, ортогональные матрицы.

Вторая часть спецкурса посвящена некоторым фактам общей теории линейных операторов. В ней рассматриваются проекционные, положительные и унитарные операторы, множество значений и ядро линейного оператора, сингулярное разложение. Особое внимание уделено псевдообратному оператору, его свойствам, проблеме устойчивости и применению операции псевдообращения для решения систем линейных и операторных уравнений.

В третьей части спецкурса рассмотрены задачи на минимум в гильбертовом пространстве. Приведены элементы топологии, рассмотрены условия существования минимума, дан метод множителей Лагранжа. Особое внимание уделено рассмотрению выпуклых задач на минимум. В качестве примера приведено решение ряда задач на условный экстремум.

Теория меры

доцент, к.ф.-м.н. Матвеева Т.В.
6 семестр, 32 часа.

Спецкурс начинается с введения понятия множества и операций над множествами. Далее рассматриваются отображения, разбиения на классы, отношения эквивалентности. Вводятся системы множеств: кольцо, полукольцо, алгебра и -алгебра, рассматриваются функции множеств. Рассмотрение понятия меры начинается с меры плоских множеств, после чего вводится общее понятие меры и рассматриваются свойства меры, заданной на кольце. Ставится задача продолжения меры, рассматривается продолжение меры с полукольца на кольцо и все его свойства. Особое внимание уделяется счетной аддитивности. Вводится мера Стилтьеса, доказываются ее свойства. Основная часть курса посвящается Лебегову продолжению меры, свойствам класса измеримых по Лебегу множеств и меры Лебега. Измеримые функции рассматриваются со всеми их свойствами, уделено внимание их сходимости, доказываются основные теоремы, в том числе Егорова и Лузина. Достаточно подробно в курсе рассмотрен интеграл Лебега, его основные свойства, в том числе и как функции множества, теоремы об абсолютной непрерывности и монотонной сходимости интеграла и предельном переходе под знаком интеграла. Наконец, рассматриваются прямые произведения систем множеств и мер и теорема Фубини. Курс заканчивается введением пространства суммируемых функций и подробным рассмотрением пространств L₁ и L₂.

Возможность. Элементы теории и применения

профессор, д.ф.-м.н. Пытьев Ю.П.
7 семестр, 36 часов.

В курсе даны математические основы теории возможностей и рассмотрены ее применения в задачах оптимального оценивания, принятия решений, анализа и интерпретации эксперимента и т.д. Построение точно следует схеме теории вероятностей, позволяя проследить формальные аналогии и принципиальные различия обеих теорий. В отличие от вероятности, оценивающей частоту того или иного исхода регулярного стохастического эксперимента, возможность оценивает относительную "потенциальную реализуемость" исходов единичного эксперимента, причем в ранговой шкале, в которой могут быть представлены и содержательно истолкованы лишь отношения "больше", "меньше" или "равно".

Функциональный анализ в нормированных пространствах

доцент, к.ф.-м.н. Сердобольская М.Л.
7 семестр, 36 часов

Данный курс имеет целью познакомить студентов с математическим аппаратом функционального анализа, особенностью которого является общая абстрактная форма рассмотрения прикладной проблемы. В курсе рассматриваются основные понятия теории метрических пространств - сходимость, замкнутость, компактность, полнота - и связанные с ними свойства и теоремы. Основную часть курса занимает изучение нормированных пространств, и далее, линейных функционалов и операторов, действующих в этих пространствах. Уделено внимание понятиям сопряженного пространства и слабых свойств последовательностей, рассмотрены основные классы линейных операторов, замкнутые, ограниченные, компактные, а также их свойства.

Методы теории гильбертовых пространств

доцент, к.ф.-м.н. Сердобольская М.Л.
8 семестр, 32 часа.

Данный курс является продолжением курса <Функциональный анализ в нормированных пространствах> . В нем рассматриваются гильбертовы пространства и линейные операторы, действующие в них. Производится анализ основных свойств пространств - проблема наличия ортонормированного базиса, теорема об общем виде линейного функционала и пр. В теории линейных операторов основное внимание уделено наиболее общим теремам, справедливым для каждого из основных классов операторов. Рассматриваются замкнутые операторы, банахово пространство непрерывных операторов, гильбертово пространство операторов Гильберта-Шмидта.

Большая часть курса посвящена спектральной теории операторов, главным образом, для операторов с чисто дискретным спектром. Вводятся и исследуются сингулярные базисы и сингулярные числа ограниченных операторов. В курс также включены вопросы о специфических представлениях линейных операторов: полярное разложение, спектральное разложение, представление основных операторных пространств как пополнений множества операторов конечного ранга.

Методы редукции измерений в бесконечномерных пространствах

доцент, к.ф.-м.н. Сердобольская М.Л.
9 семестр, 36 часов.

Данный курс знакомит студентов с методами исследования бесконечномерных математических моделей измерения и решениями задач интерпретации данных таких экспериментов. Предполагается, что экспериментальные данные и сигнал от исследуемого объекта суть элементы бесконечномерных гильбертовых пространств. Вводится модель случайных элементов в таких пространствах и рассматриваются задачи наилучшего среднеквадратичного оценивания этих элементов. Большая часть курса посвящена псевдообращению линейных бесконечномерных замкнутых операторов как мощному аппарату решения линейных операторных уравнений и вариационных задач. С помощью изученных методов производится решение бесконечномерных задач редукции, суть которых заключается в построении по данным эксперимента в определенном смысле наилучшей оценки сигнала от исследуемого объекта. Вводится и исследуется понятие эффективного ранга модели измерения, равного максимальной размерности оценки, которую можно получить по результатам измерения на основании данной модели, при заданной величине точности оценивания.

Методы математической статистики

доцент, к.ф.-м.н. Волков Б.И.
7 семестр, 36 часов.

В курсе рассматриваются основные вопросы классической математической (теоретичес-кой) статистики. В частности, задачи точечного оценивания (свойства, единственность необхо-димое и достаточное условие несмещенной оценки минимальной дисперсии, теория Крамера-Рао и Баттачария), достаточные статистики и их связь с точечными оценками, теорема Блекуэлла-Колмогорова, оценки максимального правдоподобия и их свойства, методы по-строения точечных оценок.

Много внимания уделено задачам проверки статистических гипотез: лемма Неймана-Пирсона, критерий отношения правдоподобия и его свойства (в частности, состоятельность), асимптотическое распределение отношения правдоподобия. Рассматриваются критерии с монотонным отношением правдоподобия и локально наиболее мощные критерии. Обсуждаются вопросы последовательного статистического анализа и непараметрическое статистическое оценивание, критерий "хи-квадрат". Дается понятие об инвариантных критериях.