Физический факультет МГУ им. М.В.Ломоносова
Кафедра математики

Начала функционального анализа и математической физики.

А.А. Арсеньев
144 часа

Элементы общей теории интеграла. Интеграл Лебега. Метрические и нормированные пространства. Банаховы алгебры. Операторное исчисление. Гильбертовы пространства. Обобщенные функции. Пространства Соболева. Псевдодифференциальные операторы. Теорема Ковалевской. Эллиптические псевдодифференциальные операторы. Задача Коши для гиперболических уравнений. Параболические уравнения. Методы построения фундаментальных решений. Гауссовы системы. Стохастический интеграл.

Разностные методы в математической физике

Проф. Боголюбов А. Н.
32 часа

Основные понятия теории разностных схем. Математический аппарат теории разностных схем. Теория устойчивости разностных схем. Методы построения разностных схем. Экономичные разностные схемы. Методы решения сеточных уравнений.

Введение в информатику

Д-р физ-мат. наук Эльтеков В.А.
7 семестр, 36 часов

1. Истоpия pазвития вычислительной техники и пpогpаммных сpедств
2. Основные pазделы инфоpматики
3. Сpедства пpогpаммиpования

3.1. Языки алгоpитмического пpогpаммиpования
3.2. Языки логического пpогpаммиpования
3.3. Языки аналитических пpеобpазований

4. Сpедства оpганизации вычислительных пpоцессов

4.1. Однопpоцессоpные системные сpедства сопpовождения пpогpамм
4.2. Многопpоцессоpные системные сpедства сопpовождения пpогpамм
4.3. Компьютеpные сети

5. Сpедства оpганизации баз данных

5.1. Оpганизация библиотек подпpогpамм
5.2. Абстpактные типы данных и их базы
5.3. Базы знаний и компьютеpный интеллект

6. Пpимеpы многоцелевых компьютеpных систем

6.1. Microsoft-DOS. Norton-Commander
6.2. Windows
6.3. Planner
6.4. Matlab
6.5. Microsoft-Office

Обратные задачи математической физики

Профессор Гласко Владлен Борисович
8 семестр

I. Понятие и особенности обратных задач (ОЗ). Общая классификация ОЗ. Методика первичной постановки ОЗ различных типов. Некорректность ОЗ в первичной постановке. Проблемы единственности и устойчивости. Примеры задач об историческом климате, геофизической интерпретации, синтеза приборов, технологического управления; обратная спектральная задача.

II. Элементы теории регуляризации и методы решения ОЗ. Метод подбора и его обоснование А.Н.Тихоновым. Расширение возможностей и элементы автоматизации подбора. Условно-корректные постановки задач. Метод квазирешения и теорема В.К.Иванова. Задача глобальной минимизации функций на множестве с ограничениями. Принцип регуляризации и регуляризирующие алгоритмы. Стабилизаторы и задача о минимизации сглаживающего функционала А.Н.Тихонова. Примеры корректной постановки и решения ОЗ.

III. Адаптивные регуляризирующие алгоритмы. Стохастическая и итерационная регуляризация. Регуляризованный алгоритм Фурье и "упрощенная" регуляризация. Представление о методе квазиобращения.

Сингулярные интегральные уравнения.

доцент Хапаев А.М.
36 часов.

Исследование сингулярных интегральных уравнений, их применение в математическом моделировании.Умение строить математические модели, знание теории интегральных уравнений. Интегральные преобразования, сингулярные интегральные уравнения.

Дополнительные главы математической физики.

Доцент Б.Н. Химченко.

Слабый и строгий принцип экстремума для параболических операторов второго порядка. Задача Коши в полупространстве: контрпример А.Н.Тихонова, теорема о единственности решения в классах функций Тихонова-Тэклинда, проблема стабилизации решений. Регулярность точек параболической границы области, результаты И.Г.Петровского.

Некоторые приложения геометрии к физике.

Кадомцев Сергей Борисович.
1 семестр (2 часа в неделю).

Дифференциальная и риманова геометрия, геометрия Лобачевского, их приложения к физике.

Дополнительные главы численных методов.

Проф. Н.Н.Калиткин
1 семестр, 32 часа, 2 часа в неделю.

Рассмотрены новейшие методы численного решения некоторых классов прикладных задач. Среди них:

• Аппроксимация различными типами сплайнов. Нахождение коэффициентов сплайнов; хорошо обусловленные алгоритмы. Исследование погрешности.
• Параметрическая аппроксимация кривых; ротационная инвариантность. Аппроксимация экспериментальных кривых.
• Обыкновенные дифференциальные уравнения. Задача Коши; явные методы Рунге-Кутта. Выбор шага и контроль точности. Жесткие задачи, методы Розенброка-Ваннера. Жесткий метод прямых для уравнений в частных производных.
• Краевые задачи; стрельба и разностные схемы. Задачи на собственные значения; метод дополненного вектора и фазовый метод.

Краевые задачи

доц. Крутицкий П. А.
36 часов

1. Гельдеровые функции, кусочно-голомоpфные функции, интегралы типа Коши, сингулярные интегралы и их свойства. Классы функций с особенностями. Формулы Сохоцкого.
2. Задача о скачке кусочно-голомоpфной функции, теоpема существования и единственности.
3. Однородная задача сопряжения. Каноническое pешение. Индекс. Общее pешение.
4. Неоднородная задача сопряжения и ее pешение. Теоpема о pешениях, исчезающих на бесконечности.
5. Обращение интеграла типа Коши. Случай отpезков действительной оси.
6. Сингулярные интегральные уравнения. Характеристическое сингулярное интегральное уравнение и его явное решение. Регуляризация общего сингулярного интегрального уравнения и сведение его к уравнению Фредгольма.
7. Векторная задача сопряжения и ее pешение. Задача Римана-Гильбеpта и ее pешение в канонических областях путем сведения к вектоpной задаче сопpяжения.
8. Задача с косой производной и ее связь с задачей Римана-Гильберта. Решение задачи с косой производной в канонических областях.
9. Приложение к задачам математической физики. Кpаевые задачи замагниченных полупроводников. Обтекание кpыльев и пластин. Задачи дифpакции на цилиндpических экpанах. Нестационаpные задачи гидpодинамики.

Математическая теория волноводов.

Проф. В.П.Моденов.
36 часов

Математические методы теории волноводов: дифференциально-параметрический метод (ДП-метод), различные схемы проекционных методов.

Несамосопряженные задачи на собственные значения. Постановка задач на собственные значения для плоского, круглого и коаксиального импедансных волноводов. Численные методы вычисления комплексных собственных значений задачи Штурма-Лиувилля: ДП-метод, метод продолжения по параметру, метод Ньютона-Рафсона, численное решение "векового" уравнения.

Несамосопряженные краевые задачи теории волноводов. Ортогональный метод Галеркина. Метод параболического приближения. Проекционный метод сшивания в задаче о дифракции на скачке боковой поверхности волновода. Краевая задача в области с некоординатными границами. Метод функции Грина в задачах волноводной СВЧ-диагностики и диэлектрометрии. Задачи о возбуждении собственных волн импедансного волновода. Внутренне-внешние краевые задачи

Специальные функции математической физики

Никифоров Арнольд Федорович

а) Обобщенное уравнение гипергеометрического типа

б) Интегральное представление для функций гипергеометрического типа

в )Приведение обобщенного уравнения гипергеометрического типа к уравнению гипергеометрического типа

г) Исследование уравнения Бесселя

д) Классические ортогональные полиномы - классификация, производящие функции, основные свойства

е) Дискретный аналог уравнения гипергеометрического типа и классические ортогональные полиномы дискретной переменной на равномерных и неравномерных сетках определенного вида (рассматриваются полиномы Хана, Мейкснера, Кравчука, Шарлье, полиномы Рака, дуальные полиномы Хана, q-полиномы; дается их классификация)

ж) Применение полиномов дискретной переменной в теоретической и математической физике

Квантово-статистические модели высокотемпературной плазмы

проф. Никифоров А. Ф.

Излагаются основы теории квантово-статистических моделей самосогласованного поля, используемых в физике плазмы и астрофизике. Материал излагается как спецкурс.

Модель Томаса-Ферми для вещества с заданной температурой и плотностью. Методы численного интегрирования уравнения Пуассона-Ферми-Дирака для потенциала Томаса-Ферми. Описание состояний электронов в сферической атомной ячейке. Волновые функции дискретного спектра. Волновые функции непрерывного спектра. Фазовый метод численного интегрирования уравнений. Шредингера и Дирака для центрально-симметричного поля. Квантово-механическое уточнение обобщенной модели. Томаса-Ферми для электронов дискретного спектра. Метод самосогласованного поля Хартри-Фока для вещества с заданной температурой и плотностью. Модель Хартри-Фока-Слэтера для среднего атома. Релятивистская модель Хартри-Фока-Слэтера. Решение уравнений Хартри-Фока-Слэтера для смеси веществ.

Вычислительные методы газовой динамики.

Проф. Ю.П. Попов.
2 семестра по 34 часа каждый.

Физические и математические основы газовой динамики Математические модели газовой динамики. Некоторые принципы построения разностных схем газовой динамики. Основные понятия теории разностных схем. Некоторые разностные схемы газовой динамики. Консервативные разностные схемы. Устойчивость разностных схем газовой динамики. Реализация разностных схем газовой динамики. "Явная" полностью консервативная схема. Исследование ходимости итерационного процесса Зейделя для неявной схемы. Итерационный метод Ньютона. Метод прогонки и их применение для численного решения неявных разностных схем газодинамики. Метод разделенных прогонок. Метод матричной прогонки для случая учета теплопроводности. Внутренние дисспатизные и дисперсионные свойства разностных схем газовой динамики.

Введение в геометрию и топологию

Профессор Соколов Д.Д.
32 часа.

Риманова геометрия. Математический аппарат теории относительности. Псевдоевклидовы и псевдоримановы пространства. Геометрия в целом. Геометрические методы в механике.

Математические задачи теории дифракции.

Профессор Свешников А. Г.
2 семестра, 70 часов в год

Обязательный специальный курс для специализирующихся в математической физике.

1 раздел. Математические модели теории дифракции. Формулировка, теорема однозначной разрешимости.

2 раздел. Методы решения задач дифракции. Интегральные уравнения Фредгольма 1-ого и 2-ого рода. Метод дискретных источников. Вариационно-разностные методы. Проекционные методы типа неполного метода Галеркина.

3 раздел. Направляющие системы. Теория регулярных волноводов. Строгое математическое обоснование однозначной разрешимости задач возбуждения локальными точками. Методы исследования нерегулярных волноводов. Открытые излучающие системы.