Учебно-методическое объединение университетов России

 Сборник программ по курсам
"Высшая математика"
Москва 2000

Составители:

профессор Бутузов В.Ф.

доцент Волков Б.И.

профессор Гласко В.Б.

доцент Крутицкая Н.Ч.

профессор Пытьев Ю.П.

профессор Свешников А.Г.

доцент Сенаторов П.К.

профессор Тихонов Н.А.

доцент Шишкин А.А.

 Ответственный редактор - профессор Бутузов В.Ф.

© Физический факультет МГУ им.М.В.Ломоносова

Математика и физика в своем развитии постоянно оказывают мощное стимулирующее влияние друг на друга. Физика - источник математических идей, понятий, задач, математика - язык и инструмент для описания и теоретического исследования физических явлений. Кроме того математика, в свою очередь, является источником идей, позволяющих получить новые результаты в области физики. Это определяет особую роль математических курсов в системе подготовки специалистов-физиков. Их задача - помочь будущим физикам овладеть аппаратом современных математических методов. Разумеется, успешное овладение этим аппаратом может быть достигнуто лишь при условии непрерывной самостоятельной работы студентов, в процессе которой они должны применять математические понятия и методы для решения конкретных математических и физических задач.

В цикл математических дисциплин входят следующие курсы:
- математический анализ;
- аналитическая геометрия и линейная алгебра;
- теория функций комплексной переменной;
- дифференциальные уравнения;
- интегральные уравнения и вариационное исчисление;
- теория вероятностей и математическая статистика.

Возможна некоторая вариация курсов. В частности, курс аналитической геометрии и линейной алгебры может быть разделен на два отдельных курса, а из курсов математического анализа и линейной алгебры может быть выделен в качестве самостоятельного курс векторного и тензорного анализа.

Ниже представлены программы по всем перечисленным курсам. В них указаны основные понятия и методы, овладев которыми специалист сможет в дальнейшем самостоятельно осваивать новые разделы математики, необходимые для его творческой деятельности в избранной области физики.

По каждому курсу указаны возможные задачи математического практикума, выполняемые в компьютерном классе; сформулирован необходимый минимум, включающий такие понятия, определения, формулы и формулировки некоторых теорем, без знания которых студент не может получить положительной оценки; дано распределение часов курса по темам и видам работ; указана форма итогового контроля, приведена основная и дополнительная литература.

Математический анализ

Введение

Предмет математики. Физические явления как источник математических понятий.

I. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной

1. Пределы. Непрерывность функции

Основные сведения о вещественных и комплексных числах. Точные грани числовых множеств. Числовые последовательности. Основные теоремы о пределах последовательностей. Предел монотонной последовательности. Предельные точки последовательности. Критерий Коши сходимости последовательности. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций. Критерий Коши существования предела функции. Непрерывность функции. Точки разрыва. Непрерывность элементарных функций.

2. Производная функции

Понятие производной. Основные правила и формулы дифференцирования. Производные элементарных функций. Производная вектор-функции. Дифференциал. Производные и дифференциалы высших порядков.

3. Основные теоремы о непрерывных и дифференцируемых функциях

Точные грани функции. Свойства непрерывных функций. Равномерная непрерывность функции. Теорема о нуле производной. Формула конечных приращений. Правила раскрытия неопределенностей. Методы приближенного решения нелинейных уравнений и оценки погрешностей этих методов. Формула Тейлора. Остаточный член формулы Тейлора в формах Лагранжа, Коши и Пеано. Разложение по формуле Тейлора основных элементарных функций. Применение формулы Тейлора в приближенных вычислениях.

4. Исследование поведения функций и построение их графиков

Условие монотонности функции. Экстремумы. Направление выпуклости и точки перегиба графика функции. Асимптоты графика функций.

5. Неопределенный интеграл

Понятие неопределенного интеграла. Основные методы и формулы интегрирования. Интегрирование рациональных функций и некоторых других классов функций.

6. Определенный интеграл

Понятие определенного интеграла. Верхние и нижние суммы. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции. Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций. Свойства определенного интеграла. Формулы среднего значения. Связь с неопределенным интегралом. Геометрические и физические приложения. Приближенное вычисление интегралов и оценки погрешностей.

II. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких вещественных переменных

1. Функции нескольких переменных

Понятие функции нескольких переменных. Предел функции нескольких переменных. Непрерывность. Частные производные. Дифференцируемость функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности. Дифференцируемость сложной функции. Замена переменных. Первый дифференциал. Производная по направлению. Градиент. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Тейлора. Экстремум функции нескольких переменных. Неявные функции. Понятие зависимости функций. Условный экстремум.

2. Геометрические приложения дифференциального исчисления

Понятие об особых точках кривых. Порядок касания кривых. Соприкасающаяся окружность. Огибающая семейства кривых. Кривизна и кручение пространственной кривой.

3. Кратные интегралы

Двойной интеграл и его основные свойства. Вычисление двойных интегралов: повторное интегрирование и замена переменных. Тройные и n-кратные интегралы. Их свойства и способы вычисления. Геометрические приложения.

4. Криволинейные и поверхностные интегралы

Длина дуги кривой. Криволинейные интегралы первого и второго рода. Понятие поверхности. Внутренние координаты на поверхности. Первая квадратичная форма. Измерение длин, углов, площадей на поверхности. Вторая квадратичная форма. Главные кривизны, полная и средняя кривизна поверхности. Поверхностные интегралы первого и второго рода.

5. Векторный анализ

Скалярное поле. Векторное поле. Основные операции векторного анализа. Формулы Грина, Остроградского, Стокса. Соленоидальные и потенциальные поля. Выражение основных операций векторного анализа в криволинейных ортогональных координатах.

III. Ряды и несобственные интегралы

1. Ряды

Числовые ряды. Абсолютная и условная сходимость. Признаки сходимости. Функциональные последовательности и ряды Равномерная сходимость. Свойства равномерно сходящихся функциональных последовательностей и рядов. Признаки равномерной сходимости. Сходимость в среднем.

2. Несобственные интегралы. Интегралы, зависящие от параметра.

Признаки сходимости несобственных интегралов. Интегралы, зависящие от параметра. Признаки равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Эйлеровы интегралы. Асимптотика интегралов, зависящих от параметра. Кратные несобственные интегралы, зависящие от параметра. Ньютонов потенциал и его свойства.

3. Ряды Фурье. Интеграл Фурье

Евклидовы пространства. Понятие гильбертова пространства. Ряды Фурье по ортогональной системе элементов евклидова пространства. Неравенство Бесселя и равенство Парсеваля. Полные и замкнутые системы. Полнота и замкнутость тригонометрической системы. Разложение функций в ряд Фурье по тригонометрической системе функций. Сходимость и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Свойства рядов Фурье по тригонометрической системе. Комплексная форма ряда Фурье. Интеграл Фурье. Преобразования Фурье. Формулы обращения. Дискретное преобразование Фурье.

4. Элементы теории обобщенных функций

Понятие обобщенной функции. Основные операции над обобщенными функциями. d  - функция.

1. Символьные методы решения алгебраических уравнений до четвертой степени включительно.

2. Численное решение уравнений вида f(x) = 0 методами деления пополам, простой итерации, хорд, касательных.

3. Численные и символьные методы нахождения локального экстремума функций одной и нескольких переменных.

4. Численное и символьное интегрирование.

5. Численные и символьные методы в задачах суммирования рядов и разложения в ряды.

Необходимый минимум для положительной оценки

I. Дифференциальное и интегральное исчисление функций одной вещественной переменной

1. Два определения предела функции (по Коши и по Гейне). Пример функции, не имеющей предела в некоторой точке.

2. Определение непрерывности функции в точке. Примеры функций, имеющих разрывы: устранимый, 1 рода, 2 рода.

3. Определение производной и дифференциала функции. Таблица производных основных элементарных функций.

4. Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Таблица основных неопределенных интегралов. Формула интегрирования по частям. Формула замены переменной.

5. Определение равномерной непрерывности функции. Примеры функций, равномерно непрерывных и не являющихся таковыми на некотором промежутке.

6. Формула Лагранжа конечных приращений. Достаточное условие монотонности функции на промежутке.

7. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано. Пять основных разложений по формуле Маклорена: .

8. Понятие экстремума функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.

9. Понятие направления выпуклости графика функции. Достаточное условие определенного направления выпуклости. Точка перегиба графика функции. Необходимое условие перегиба графика в данной точке. Графики элементарных функций.

10. Понятие определенного интеграла. Необходимое и достаточное условие интегрируемости функции на сегменте.

11. Формула Ньютона-Лейбница. Формула замены переменной в определенном интеграле.

12. Вычисление длин кривых и площадей плоских фигур с помощью определенного интеграла.

II. Дифференциальное и интегральное исчисление функций нескольких вещественных переменных

1. Два определения предела функции многих переменных. Пример функции, не имеющей предела в некоторой точке.

2. Непрерывность функции по совокупности переменных и по отдельным переменным. Связь между ними. Примеры.

3. Определение частных производных и дифференцируемости функции. Связь между этими понятиями. Примеры.

4. Производная по направлению и градиент; формула, связывающая их. Уравнение касательной плоскости к поверхности  z = F(x, y) в данной точке.

5. Понятие неявной функции. Формула производной неявной функции.

6. Понятие экстремума функции многих переменных. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума. Понятие условного экстремума.

7. Вычисление двойных и тройных интегралов с помощью повторного интегрирования. Формулы замены переменных в двойных и тройных интегралах. Переход к цилиндрическим и сферическим координатам.

8. Вычисление криволинейных интегралов первого и второго рода с помощью определенного интеграла.

9. Формула Грина. Условия независимости криволинейного интеграла на плоскости от пути интегрирования.

10. Формула площади поверхности, заданной: а) уравнением z = F(x, y); б) параметрически.

11. Вычисление поверхностных интегралов первого и второго рода с помощью двойного интеграла.

12. Формула Остроградского, ее физический смысл.

13. Формула Стокса, ее физический смысл.

14. Потенциальные и соленоидальные векторные поля, их свойства.

III. Ряды и несобственные интегралы

1. Понятие сходимости числового ряда. Сходимость (расходимость) ряда при различных a .

2. Понятие равномерной сходимости функциональных последовательностей и рядов. Примеры.

3. Понятие сходимости в среднем.

4. Понятие несобственных интегралов 1 и 2 рода. Сходимость (расходимость) интегралов при различных a .

5. Понятие равномерной сходимости несобственных интегралов, зависящих от параметра. Примеры.

6. Тригонометрический ряд Фурье. Формулы для вычисления коэффициентов ряда Фурье.

7. Формулы преобразования Фурье и обратного преобразования.

8. Что такое d -функция?

Распределение часов курса по темам и видам работ

Зачет и экзамен в каждом семестре

Литература

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа, ч.I, ч.II М.: Наука, 1998.
2. Кудрявцев Л.Д. Краткий курс математического анализа. М.: Высшая школа, т.1,2 1998, т.3 1999.
3. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу. М.: Наука, 1999.
4. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Медведев Г.Н., Шишкин А.А. Математический анализ в вопросах и задачах. Изд. 3-е. М.: Физматлит, 2000.

Аналитическая геометрия и линейная алгебра

1. Определители второго и третьего порядка, их свойства

2. Векторы и координаты

Понятие вектора. Линейные операции над векторами. Разложение вектора по базису. Системы координат на плоскости и в пространстве (декартовы, полярные, цилиндрические, сферические). Скалярное, векторное и смешанное произведения векторов, их свойства. Условия коллинеарности, ортогональности и компланарности векторов. Преобразование декартовой прямоугольной системы координат на плоскости.

3. Прямые и плоскости

Прямая на плоскости. Прямая и плоскость в пространстве. Различные типы уравнений прямой на плоскости, плоскости и прямой в пространстве. Формула расстояния от точки до прямой, от точки до плоскости. Формулы для вычисления углов между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью.

4. Кривые и поверхности второго порядка

Канонические уравнения и свойства эллипса, гиперболы, параболы. Параметрические уравнения этих кривых. Оптические свойства эллипса, гиперболы, параболы. Приведение к каноническому виду общего уравнения кривой второго порядка. Инварианты кривых второго порядка. Канонические уравнения и свойства поверхностей второго порядка.

5. Матрицы и определители

Линейные операции над матрицами. Умножение матриц. Определители и их свойства. Теорема об определителе произведения матриц. Обратная матрица. Решение систем линейных уравнений с определителем, отличным от нуля. Формулы Крамера. Ранг матрицы. Методы вычисления ранга матрицы. Теорема о базисном миноре. Ортогональные и унитарные матрицы, их свойства.

6. Линейные пространства

Определение и свойства линейных пространств над полем действительных и комплексных чисел. Базис и координаты. Размерность линейного пространства. Преобразование базиса и координат. Подпространства. Линейные оболочки. Изоморфизм линейных пространств.

7. Системы линейных уравнений

Теорема Кронекера-Капелли. Базис и размерность пространства решений однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы линейных уравнений.

8. Евклидовы и унитарные пространства

Определения евклидова и унитарного пространства. Неравенство Коши-Буняковского. Ортонормированый базис. Разложение евклидова пространства на прямую сумму подпространств. Изоморфизм евклидовых и унитарных пространств. Общий вид линейного функционала в евклидовом пространстве.

9. Линейные операторы в конечномерном пространстве

Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора. Действия над линейными операторами и соответствующие действия над матрицами. Обратный оператор. Инвариантное подпространство линейного оператора. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора. Сопряженный, симметричный, ортогональный операторы в евклидовом пространстве, их свойства. Линейные операторы в унитарном пространстве. Эрмитов оператор. Унитарный оператор.

10. Билинейные и квадратичные формы

Понятие билинейной и квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа и методом ортогональных преобразований. Закон инерции квадратичных форм. Классификация квадратичных форм. Критерий Сильвестра. Одновременное приведение двух квадратичных форм к каноническому виду. Экстремальные свойства собственных значений симметричных матриц. Симметричная билинейная форма и ее канонический базис.

11. Тензоры

Понятие тензора. Основные операции над тензорами. Метрический тензор. Примеры тензоров (тензор инерции, тензор деформаций, тензор напряжений).

12. Элементы теории групп

Понятие группы. Примеры групп. Группа преобразований линейного пространства. Группа преобразований Лоренца.

1. Численные и символьные методы решения систем линейных уравнений.

2. Численные и символьные методы нахождения собственных значений и собственных векторов матриц.

Необходимый минимум для положительной оценки

Аналитическая геометрия

1. Декартова и полярная системы координат на плоскости. Декартова, цилиндрическая и сферическая системы координат в пространстве.

2. Линейные операции над векторами. Скалярное, векторное, смешанное произведение векторов, их выражения через координаты векторов.

3. Основные типы уравнений прямой на плоскости. Вычисление расстояния от точки до плоскости. Вычисление углов между прямыми и плоскостями.

4. Канонические уравнения эллипса, гиперболы и параболы. Канонические уравнения поверхностей 2-го порядка.

Линейная алгебра

1. Операции над матрицами. Вычисление определителя и ранга матрицы.

2. Понятие линейного пространства. Линейная зависимость и независимость элементов линейного пространства. Базис. Преобразование базиса и координат элементов линейного пространства.

3. Базис в пространстве решений однородной системы линейных уравнений.

4. Определение евклидова и унитарного пространства. Ортонормированый базис. Свойства ортогональных матриц.

5. Линейный оператор и его матрица. Преобразование матрицы оператора при преобразовании базиса. Собственные векторы и собственные значения. Симметричный и ортогональный операторы.

6. Матрица квадратичной формы. Приведение квадратичной формы к каноническому виду. Билинейная форма. Симметричная билинейная форма.

7. Определение тензора. Операции над тензорами.

8. Определение группы. Примеры групп.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Зачет и экзамен в каждом семестре

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия. М.: Наука, 1999.
2. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.: Наука, 1999.
3. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
4. Крутицкая Н.Ч., Тихонравов А.В., Шишкин А.А. Аналитическая геометрия и линейная алгебра с приложениями. Группы, тензоры, численные методы. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1991.
5. Бутузов В.Ф., Крутицкая Н.Ч., Шишкин А.А. Линейная алгебра в вопросах и задачах. М.: Физматлит, 2001.
6. Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М.: Наука, 1981.
7. Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Чубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М.: Наука, 1987.

 

Теория функций комплексной переменной

1. Комплексная переменная и функции комплексной переменной

Комплексные числа. Понятие функции комплексной переменной. Элементарные функции комплексной переменной. Предел функции, понятие непрерывной функции комплексной переменной. Дифференцируемость функций комплексной переменной и условия Коши-Римана. Аналитические функции комплексной переменной. Интеграл по комплексной переменной. Теорема Коши. Интеграл Коши и интеграл типа Коши. Теоремы Лиувилля, Морера, принцип максимума модуля аналитической функции.

2. Ряды аналитических функций

Теоремы Вейерштрасса. Степенные ряды. Теорема Тейлора. Теорема единственности аналитической функции. Понятия аналитического продолжения, многозначных функций и римановой поверхности. Точки ветвления. Ряд Лорана. Изолированные особые точки аналитических функций.

3. Теория вычетов

Вычисление интегралов с помощью теории вычетов. Принцип аргумента, теорема Руше, основная теорема высшей алгебры.

4. Конформные отображения

Принцип соответствия границ при конформном отображении. Теорема Римана. Отображения, осуществляемые элементарными функциями. Дробно-линейное отображение. Функция Жуковского. Связь аналитических функций комплексной переменной с гармоническими функциями. Физические приложения теории аналитических и гармонических функций.

5. Преобразование Лапласа

Понятие преобразования Лапласа. Формула обращения преобразования Лапласа. Применение интегральных преобразований для решения задач математической физики. Асимптотические оценки интегралов и метод перевала. Асимптотические разложения некоторых спецфункций.

1. Построение отображений, осуществляемых элементарными функциями комплексной переменной.

Необходимый минимум для положительной оценки

1. Понятие функции комплексной переменной.
2. Понятие аналитической функции комплексной переменной. Примеры аналитических функций. Условия Коши-Римана.
3. Интегральная формула Коши.
4. Бесконечная дифференцируемость аналитической функции.
5. Теорема Абеля о сходимости степенного ряда.
6. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора.
7. Ряд Лорана.
8. Изолированные особые точки аналитической функции. Примеры полюса и существенно особой точки.
9. Определение вычета функции. Формулы для вычисления вычета функции в полюсе.
10. Основная теорема теории вычетов.
11. Вычисление интегралов типа
12. Понятие конформного отображения. Пример конформного отображения
13. Понятие преобразования Лапласа. Примеры. Формула обращения преобразования Лапласа.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Экзамен

Литература

Основная

1. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1999.
2. Бицадзе А.В. Основы теории аналитических функций. М.: Наука, 1969.
3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1975.

Дополнительная

1. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987.
2. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного. М.: Наука, 1977.
3. Гюнтер Н.М., Кузьмин Р.О. Сборник задач по высшей математике. М.: Физматгиз, 1959.

Дифференциальные уравнения

1. Понятие дифференциального уравнения

Примеры физических задач, приводящих к дифференциальныи уравнениям. Начальные и граничные (краевые) условия.

2.Уравнения первого порядка

Простейшие типы уравнений первого порядка, интегрируемых в квадратурах. Постановка задачи Коши для уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Существование и единственность решения задачи Коши. Зависимость решения задачи Коши от начальных условий и параметров. Понятие об асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. Уравнение, неразрешенное относительно производной.

3. Уравнения n-го порядка

Интегрируемые типы уравнений n-го порядка. Уравнения, допускающие понижение порядка. Линейные уравнения n-го порядка и их свойства. Общее решение однородного уравнения. Общее решение неоднородного уравнения. Методы построения частного решения неоднородного уравнения (импульсная функция, метод вариации постоянных). Уравнения с постоянными коэффициентами.

4. Системы обыкновенных дифференциальных уравнений

Первые интегралы. Существование и единственность решения задачи Коши. Общая теория систем линейных уравнений. Общее решение однородной системы линейных уравнений. Общее решение неоднородной системы уравнений. Построение частного решения неоднородной системы (импульсная матрица, метод вариации постоянных). Системы уравнений с постоянными коэффициентами.

5. Теория устойчивости

Устойчивость решения по Ляпунову. Исследование устойчивости решения по первому приближению. Функция Ляпунова. Классификация точек покоя.

6. Краевые задачи для линейных уравнений второго порядка

Краевая задача для неоднородного уравнения. Функция Грина.

7. Численные методы

Понятие разностной схемы. Сходимость, аппроксимация и устойчивость. Разностные схемы решения начальных и краевых задач.

8. Уравнения в частных производных первого порядка

Линейные уравнения. Построение общего решения. Задача Коши. Квазилинейные уравнения.

1. Численное решения начальных и краевых задач.

2. Символьные методы решения линейных дифференциальных уравнений и систем с постоянными коэффициентами

Постановка задачи Коши и теорема существования и единственности для дифференциального уравнения первого рода.

Линейные уравнения n-го порядка и их свойства.

Решение линейного дифференциального уравнения n-го порядка и систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами.

Понятие устойчивости решения дифференциального уравнения по Ляпунову.

Решение краевой задачи для линейного неоднородного уравнения второго порядка с помощью функции Грина.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Зачет и экзамен

Литература

Основная

1. Васильева А.Б., Тихонов А.Н., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРС, 2000.
3. Калиткин Н.Н. Численные методы М.: Наука, 1978
4. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1975.

Дополнительная

1. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.

Интегральные уравнения и вариационное исчисление

Понятие функционала. Первая вариация функционала. Необходимое условие экстремума. Вариационная задача с закрепленными границами. Уравнение Эйлера. Задачи на условный экстремум. Задача с подвижной границей. Достаточные условия экстремума. Понятие о прямых методах вариационного исчисления.

Интегральные уравнения

1. Классификация линейных интегральных уравнений

Уравнения Фредгольма и Вольтерра первого и второго рода. Примеры физических задач, приводящих к интегральным уравнениям.

2. Линейные операторы в бесконечномерном евклидовом пространстве

Вполне непрерывный оператор. Теорема существования собственного значения и собственного вектора у симметричного вполне непрерывного оператора. Построение последовательности собственных значений и собственных векторов.

3. Однородное уравнение Фредгольма второго рода

Существование собственных значений и собственных функций у интегрального оператора с симметричным ядром. Вырожденные ядра. Теорема Гильберта-Шмидта.

4. Краевая задача на собственные значения и собственные функции (задача Штурма-Лиувилля)

Сведение задачи Шттурма-Лиувилля к интегральному уравнению. Свойства собственных значений и собственных функций задачи Штурма-Лийвилля. Теорема Стеклова.

5. Неоднородное уравнение Фредгольма второго рода

Принцип сжатых отображений. Уравнение Фредгольма с "малым l ". Уравнение Фредгольма с вырожденным и невырожденным ядром. Теоремы Фредгольма.

6. Уравнение Вольтерра

Метод последовательных приближений.

7. Понятие о корректно и некорректно поставленных задачах

Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи. Метод А.Н. Тихонова регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

1. Численное решение интегральных уравнений Фредгольма второго рода.
2. Символьные методы решения интегрального уравнения Фредгольма с вырожденным ядром.
3. Метод регуляризации решения уравнения Фредгольма первого рода.

1. Классификация линейных интегральных уравнений
2. Понятие вполне непрерывного оператора. Теорема существования собственного значения и собственного вектора для вполне непрерывного симметричного оператора.
3. Постановка задачи Штурма-Лиувилля.
4. Альтернатива Фредгольма.
5. Уравнение Фредгольма первого рода как пример некорректно поставленной задачи.
6. Понятие функционала и его первой вариации.
7. Вариационная задача с закрепленными концами и уравнение Эйлера.
8. Достаточные условия экстремума.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Экзамен

Литература

Основная

1. Васильева А.Б., Тихонов А.Н. Интегральные уравнения. М.: Изд. МГУ, 1989.
2. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: УРС, 2000.

Дополнительная

1. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.
2. Краснов М.П. Интегральные уравнения. Введение в теорию. М.: Наука, 1981.
3. Карташев А.П., Рождественский Б.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения и основы вариационного исчисления. М.: Наука, 1980.

Теория вероятностей и математическая статистика

1. Стохастические модели в физике.

Случайный эксперимент, множество элементарных исходов. События и операции над событиями; Классическая и геометрическая модели вероятностию Системы Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака.

2. Аксиоматика теории вероятностей.

алгебра и сигма-алгебра событий. Последовательность событий, сходимость. понятие вероятностного пространства. сигма-аддитивность и непрерывность вероятности.

3. Условная вероятность и независимость событий.

условное вероятностное пространство. формула полной вероятности, формула Байеса. независимость событий - попарная и в совокупности, свойства независимых событий.

4. Последовательность независимых испытаний.

вероятностное пространство схемы независимых испытаний. биномиальное распределение вероятностей. отрицательное биномиальное распределение вероятностей. полиномиальное распределение вероятностей.

5. Конечные однородные цепи Маркова.

вероятностное пространство цепи Маркова. матрицы перехода за 1 и n шагов, их свойства. теорема Маркова об эргодичности цепи.

6. Случайные величины, случайные векторы.

функция распределения случайной величины, свойства функции распределения. дискретные и непрерывные случайные величины. плотность распределения случайной величины. совместные функция и плотность распределения случайного вектора, их свойства. условное распределение и независимость случайных величин;
распределение функций случайных величин.

7. Моменты случайных величин.

математическое ожидание дискретной и непрерывной случайных величин, математическое ожидание функции от случайной величины, их свойства. дисперсия случайной величины, ее свойства. ковариация и корреляция случайных величин, их свойства. условное математическое ожидание случайной величины.

8. Характеристическая функция случайной величины.

свойства характеристической функции. теорема непрерывности.

9. Предельные теоремы.

сходимости последовательностей случайных величин. предельные теоремы Пуассона и Муавра-Лапласа для распределения Бернулли. законы больших чисел. центральная предельная теорема.

10. Случайные процессы.

основные понятия теории случайных процессов, корреляционная функция случайного процесса. процессы Пуассона и Винера, определение и свойства. теория второго порядка случайных процессов.

11. Распределения, применяемые в математической статистике.

многомерное нормальное распределение, распределения Пирсона, Снедекора-Фишера, Стьюдента. процессы Пуассона и Винера, определение и свойства. распределение ортогональных проекций нормальных векторов.

12. Задачи интервального оценивания параметров распределения.

общая постановка задачи интервального оценивания, доверительные множества. интервальные оценки параметров нормального распределения.

13. Точечные оценки параметров распределения.

несмещенность, состоятельность. несмещенные оценки минимальной дисперсии. неравенство Крамера-Рао, эффективность оценки.

14. Линейный анализ регрессий.

линейная модель измерений, наилучшие оценки параметров (теорема Гаусса-Маркова), оценка дисперсии погрешности измерения. доверительные множества в нормальной регрессии.

15. Задачи оценивания случайных векторов.

условное математическое ожидание как наилучшая в среднеквадратичном оценка случайного вектора. наилучшие линейные оценки.

• Аксиомы вероятности.
• Определение случайной величины.
• Формулы для вычисления математического ожидания и дисперсии.
• Определение случайного процесса.
• Интервальные оценки параметров нормального распределения.
• Несмещенность и состоятельность точечной оценки параметра распределения

1. Найти Н.О.М.Д. неизвестного вектора на основе линейных косвенных измерений (в соответствии с теоремой Гаусса-Маркова).

2. На уровне 95% проверить гипотезу о равенстве средних двух независимых выборок из нормального распределения с одной и той же дисперсией.

Распределение часов курса по темам и видам работ

Зачет и экзамен

Литература

Основная

1. Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей М:Наука, 1988.
2. Чистяков В.П. Курс теории вероятностей М:Наука, 1988.
3. Чистяков В.П., Севастьянов Б.А. Сборник задач по теории вероятностей М:Наука, 1980.

Дополнительная

1. Боровков А.А. Теория вероятностей М:Наука, 1986.
2. Розанов Ю.А. Случайные процессы М:Наука, 1979.
3. Худсон Д. Статистика для физиков М:Мир, 1970.
4. Пытьев Ю.П., Шишмарев И.А. Курс теории вероятностей и математической статистики для физиков. Изд-во МГУ,1983.