Методы математической физики

Составители:

доцент Боголюбов А.Н.

доцент Кравцов В.В.

профессор Свешников А.Г.

профессор Тихонов Н.А.

 Ответственный редактор - профессор Бутузов В.Ф.

1.Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных.
2. Классификация уравнений в частных производных второго порядка.
3. Общая схема метода разделения переменных.
4. Специальные функции математической физики

4.1. Цилиндрические функции.

Уравнение Бесселя. Функции Бесселя. Функции Ханкеля. Функции Неймана. Общее решение уравнения Бесселя. Асимптотическое поведение цилиндрических функций. Цилиндрические функции чисто мнимого аргумента.

4.2. Классические ортогональные полиномы.

Дифференциальные уравнения. Формула Родрига. Производящая функция. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Полиномы Лагерра. Полиномы Эрмита.

4.3. Сферические и шаровые функции.

 

5. Краевые задачи для уравнения Лапласа

Гармонические функции. Фундаментальное решение уравнения Лапласа. Формула Грина. Основные свойства гармонических функций (теорема Гаусса, теорема о среднем, бесконечная дифференцируемость, принцип максимума). Теоремы единственности для внутренних и внешних краевых задач для уравнения Лапласа. Функция Грина для оператора Лапласа. Гармонические потенциалы. Свойства потенциалов простого и двойного слоя. Метод интегральных уравнений для решения краевых задач. Существование решений основных краевых задач для уравнения Лапласа.

6.Уравнения параболического типа

Внутренние начально-краевые задачи. Принцип максимума. Теоремы единственности. Теорема существования для одномерного случая. Уравнение теплопроводности на бесконечной прямой и в неограниченном пространстве. Теорема единственности. Теорема существования. Фундаментальное решение. Уравнение теплопроводности на полубесконечной прямой. Метод продолжения. Функция Грина. Метод интегральных преобразований Фурье.

7. Уравнения гиперболического типа

Внутренние начально-краевые задачи. Теоремы единственности. Теоремы существования в одномерном случае. Уравнение колебаний на бесконечной прямой. Метод распространяющихся волн. Формула Даламбера. Уравнение колебаний на полубесконечной прямой. Метод продолжений. Метод интегральных преобразований Фурье. Задачи Коши для уравнения колебаний в пространстве. Формула Пуассона. Метод спуска.

8. Краевые задачи для уравнения

Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа. Свойства собственных значений и собственных функций. Собственные функции оператора Лапласа для простейших канонических областей. Фундаментальное решение уравнения . Теоремы единственности для уравнения в ограниченной области. Уравнение в неограниченной области. Условия излучения Зоммерфельда. Теорема единственности. Принцип предельного поглощения.

1. Изучение специальных функций с помощью компьютеров.
2. Распространение волн на бесконечной прямой и отрезке (символьные и численные методы, графические изображения).

Необходимый минимум для получения положительной оценки

1. Общая схема метода разделения переменных для однородных и неоднородных задач (гиперболический, параболический и эллиптический случаи).
2. Постановка задачи Штурма-Лиувилля.
3. Уравнение Бесселя и его общее решение.
4. Определение классических ортогональных полиномов.
5. Определение присоединенных функций Лежандра, сферических функций, шаровых функций.
6. Определение гармонической функции. Принцип максимума.
7. Постановка внешних и внутренних задач Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа.
8. Функция Грина внутренних задач Дирихле и Неймана в двумерном и трехмерном случаях.
9. Определение и основные свойства объемного и поверхностных потенциалов.
10. Общая постановка начально-краевой задачи для уравнения теплопроводности в ограниченной области. Принцип максимума.
11. Постановка задачи Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой. Фундаментальное решение.
12. Общая постановка начально-краевой задачи для уравнения колебаний в ограниченной области.
13. Постановка задачи Коши для уравнения колебаний на бесконечной прямой. Формула Даламбера.
14. Уравнение Гельмгольца. Фундаментальные решения на плоскости и в пространстве.
15. Условия излучения в двумерном и трехмерном случае.

Распределение часов курса по темам и видам работ

			Аудиторные занятия		Само-стоя-
? п/п	Наименование тем и разделов	Всего	в том числе		тельная
		часов	Лекции (час)	Семинары (час)	работа
1	Физические задачи, приводящие к уравнениям в частных производных	12	4	2	6
2	Классификация уравнений в частных производных второго порядка	7	4	1	2
3	Общая схема метода разделения переменных	14	5	3	6
4	Специальные функции	40	16	8	16
5	Краевые задачи для уравнения Лапласа	50	14	12	24
6	Уравнения параболического типа	34	10	8	16
7	Уравнения гиперболического типа	35	11	8	16
8	Краевые задачи для уравнения. u + cu = 0	44	8	12	24
	Итого	236	72	54	110

Зачет и экзамен

Литература

Основная

1. Свешников А.Г., Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Лекции по математической физике. Изд-во МГУ, 2000.
2. Боголюбов А.Н., Кравцов В.В. Задачи по математической физике. Изд-во МГУ, 1998.
3. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. Изд-во МГУ, 1999.

Дополнительная

1. Арсенин В.Я. Методы математической физики и специальные функции. М.: Наука, 1984.
2. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1988.
3. Будак Б.М., Самарский А.А., Тихонов А.Н. Сборник задач по математической физике. М.: Наука, 1972.