Нижегородский государственный университет
им. Н.И.Лобачевского

 УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по общему курсу

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

для направления подготовки
"физика"
и по специальности
"радиофизика и электроника"

 Курс: 1. Программа составлена
заведующим кафедрой математики   радиофизического факультета Нижегородского государственного университета профессором д.ф.-м.н. Г.А.Уткиным, доцентом кафедры математики к.ф.-м.н. А.А.Дубковым, ассистентом кафедры математики Б.В.Лисиным.

Семестр: 2.
Лекции: 48 час.
Практикум: 32 час.
Экзамен: 2 семестр.
Зачет: нет

1. Учебные цели курса.

При изучении физических явлений часто не удается непосредственно найти законы, связывающие физические величины, но сравнительно легко устанавливается зависимость между теми же величинами, их производными или дифференциалами. Таким образом большинство физических явлений описывается на языке дифференциальных уравнений, содержащих неизвестные функции под знаком производной или дифференциала.

В данном курсе рассматриваются методы интегрирования простейших дифференциальных уравнений, а также линейных дифференциальных уравнений произвольного порядка и систем таких уравнений. Особое внимание уделяется изучению линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и систем линейных уравнений. Соответственно цель преподавания курса "Дифференциальные уравнения" состоит в кратком изложении основных методов интегрирования простейших дифференциальных уравнений, линейных уравнений произвольных порядков и систем линейных уравнений, наиболее часто встречающихся в физических приложениях.

2. Учебные задачи курса.

Привить студентам навыки решения простейших дифференциальных уравнений, а также научить их интегрировать линейные уравнения и системы с постоянными коэффициентами используя

1. Метод неопределенных коэффициентов;

2. Операционный метод;

3. Метод вариации произвольных постоянных.

Ознакомить студентов с элементами качественной теории дифференциальных уравнений и методами решения линейных уравнений в частных производных первого порядка.

3. Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.

Для изучения курса "Дифференциальные уравнения" необходимо знать следующие разделы курса "Математический анализ": дифференцирование функций одного и многих переменных, неопределенный интеграл, криволинейные интегралы, функциональные определители. Из курса "Высшая алгебра" требуется знание разделов: определители и решение систем линейных уравнений.

(наименование тем и их содержание)

1. Дифференциальные уравнения 1-ого порядка (14 часов).

1.1. Историческая справка. Примеры физических задач, приводящих к дифференциальным уравнениям. Основные понятия дифференциальных уравнений. Составление дифференциальных уравнений семейства плоских кривых.

1.2 Дифференциальные уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной.

1.2.1. Понятие решения. Поле направлений. Изоклины. Интегральные кривые. Постановка задачи Коши. Теорема Пеано(формулировка).

1.2.2. Точки единственности и неединственности. Общее, частное и особое решения.

1.2.3. Теорема существования и единственности решения задачи Коши (формулировка).

1.2.4. Огибающая семейства интегральных кривых как особое решение. Нахождение огибающей.

1.3. Уравнения, интегрируемые в квадратурах.

1.3.1. Уравнения с разделяющимися переменными. Однородные уравнения.

1.3.2. Уравнения в полных дифференциалах. Линейные уравнения.

1.3.3. уравнения с интегрирующим множителем.

1.3.4. Уравнения Бернулли и Риккати.

1.4. Метрические пространства. Сходимость в метрических пространствах. Полные метрические пространства.

1.4.1 Принцип сжимающих отображений.

1.4.2. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения, разрешенного относительно производной. Оценка погрешности.

1.5. Продолжение решений.

1.6. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной.

1.6.1. Точки единственности и неединственности. Постановка задачи Коши.

1.6.2. Существование и единственность решения задачи Коши для таких уравнений.

1.6.3. Особые решения. Необходимые и достаточные условия существования особых решений.

1.7. Неполные уравнения. Общий метод введения параметра.

1.7.1 Уравнения Клеро и Лагранжа.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков (18 часов)

2.1. Уравнения неразрешенные относительно старшей производной.

2.1.1. Постановка задачи Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

2.1.2. Простейшие случаи понижения порядка уравнения.

2.2. Уравнения, разрешенные относительно старшей производной.

2.2.1. Постановка задачи Коши. Существование и единственность решения задачи Коши.

2.3. Линейные уравнения произвольного порядка.

2.3.1. Глобальность решения задачи Коши. Структура общего решения.

2.4. Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений произвольного порядка.

2.4.1. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского.

2.4.2. Фундаментальная система решений. Структура общего решения.

2.4.3. Формула Остроградского-Лиувиля и ее применение.

2.5. Неоднородные линейные уравнения.

2.5.1. Структура общего решения. Метод вариации произвольных постоянных.

2.6. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами.

2.6.1. Нахождение фундаментальной системы решений.

2.7. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами.

2.7.1. Метод неопределенных коэффициентов нахождения частных решений.

2.7.2. Операторный метод нахождения частных решений.

2.8. Уравнения Эйлера и Чебышева и их интегрирование методом сведения к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами.

2.9. Интегрирование дифференциальных уравнений с помощью рядов. Уравнение Бесселя.

3. Системы дифференциальных уравнений (10 часов).

3.1. Понятие решения системы. Фазовое пространство и траектории. Существование решения.

3.2. Сведение системы к одному уравнению методом исключения.

3.3. Интегралы и первые интегралы системы. Метод интегрируемых комбинаций.

3.4. Линейные системы дифференциальных уравнений.

3.4.1. Постановка задачи Коши. Структура общего решения.

3.4.2. Метод вариации произвольных постоянных.

3.4.3. Нахождение фундаментальной системы решений линейной однородной системы с постоянными коэффициентами. Построение общего решения.

3.5. Теоремы о непрерывной зависимости решений от правых частей и от начальных данных.

1. 4. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений (6 часов)..

4.1. Понятие динамической системы.

4.1.2. Классификация положений равновесия динамической системы на плоскости в невырожденных случаях.

4.2. Понятие предельного цикла. Грубые и негрубые предельные циклы.

4.2.3. Понятие устойчивости решений динамической системы. Устойчивость по Ляпунову. Функции Ляпунова. Устойчивость по первому приближению.

4.3. Первоначальные сведения об уравнениях в частных производных первого порядка.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1. Дифференциальные уравнения первого порядка (14 часов).

1.1. Понятие дифференциального уравнения и его решения. Поле направлений. Изоклины. Геометрическое построение решений.

1.2. Общее и частное решения уравнения. Особые решения. Составление дифференциального уравнения по заданному семейству кривых.

1.3. Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним линейной заменой.

1.4. Однородные и линейные уравнения. Обобщенные линейные уравнения.

1.5. Уравнения в полных дифференциалах. Метод интегрирующего множителя.

1.6. Уравнения первого порядка не разрешенные относительно производной. Нахождение особых решений. Уравнения Лагранжа и Клеро.

1.7. Контрольная работа.

2.Дифференциальные уравнения высших порядков (8 часов).

2.1. Уравнения, допускающие понижение порядка.

2.2. Общая теория решений линейных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами.

2.3. Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение общего решения.

2.4.Линейные неоднородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Операторный метод.

3.Системы дифференциальных уравнений (6 часов).

3.1. Общая теория систем дифференциальных уравнений. Метод исключения. Метод первых интегралов.

3.2. Линейные однородные системы с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.

3.3. Линейные неоднородные системы с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных. Операторный метод.

Уравнения в частных производных первого порядка (4 часа).

4.1. Линейные однородные и неоднородные уравнения. Нахождение общего решения. Решение задачи Коши.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

1. Определение обыкновенного дифференциального уравнения. Порядок уравнения. Примеры: радиоактивный распад, свободное падение материальной точки.
2. Определение уравнения первого порядка, разрешенного относительно производной. Определение решения. Примеры.
3. Задача Коши для уравнения первого порядка. Начальные условия.
4. Поле направлений, определяемое дифференциальным уравнением первого порядка. Изоклины. Примеры.
5. Продолжение решений. Понятие полного решения.
6. Единственность решения задачи Коши- локальная и глобальная. Точки единственности и неединственности. Примеры.
7. Определение общего, частного и особого решений. Интегральная кривая уравнения.
8. Понятие интеграла, общего интеграла уравнения первого порядка. Примеры.
9. Уравнения с разделяющимися переменными и приводимые к ним линейной заменой. Примеры.
10. Однородные и обобщенно однородные уравнения.
11. Уравнения в полных дифференциалах.
12. Линейные уравнения.
13. Уравнения Бернулли и Риккати.
14. Уравнения с интегрирующим множителем.
15. Метрические пространства, полные метрические пространства.
16. Понятие сжимающего оператора и его непрерывность. Принцип сжимающих отображений.
17. Доказательство теоремы существования и единственности решения задачи Коши для уравнения первого порядка.
18. Дифференциальные уравнения не разрешенные относительно производной. Определение решения. Точки единственности и неединственности. Примеры.
19. Метод параметризации. Уравнения Лагранжа и Клеро.
20. Нахождение особых решений.
21. Огибающая семейства интегральных кривых. Необходимые и достаточные условия существования огибающей.
22. Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
23. Дифференциальные уравнения высших порядков разрешенные относительно старшей производной. Задача Коши. Определение общего решения, интеграла, общего интеграла.
24. Линейная зависимость и независимость функций. Определитель Вронского. Необходимое условие линейной зависимости функции.
25. Линейные однородные уравнения произвольного порядка
26. Теорема о структуре общего решения линейного однородного уравнения с непрерывными коэффициентами.
27. Теорема Остроградского- Лиувиля и ее применение.
28. Линейные неоднородные уравнения произвольного порядка. Структура общего решения.
29. Метод вариации произвольных постоянных.
30. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами. Построение фундаментальной системы решений.
31. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами. Операторный метод нахождения частного решения.
32. Линейные уравнения с переменными коэффициентами приводимые к линейным уравнениям с постоянными коэффициентами. Уравнения Эйлера и Чебышева.
33. Интегрирование линейных уравнений с помощью степенных рядов.
34. Системы дифференциальных уравнений: общего вида, канонические, нормальные. Порядок системы.
35. Определение общего решения, интеграла, первого интеграла нормальной системы. Постановка задачи Коши.
36. Системы линейных однородных уравнений с постоянными коэффициентами. Фундаментальная система решений.
37. Системы линейных неоднородных уравнений с постоянными коэффициентами. Метод вариации произвольных постоянных.
38. Устойчивость в малом. Устойчивость по Ляпунову. Асимптотическая устойчивость. Теорема Ляпунова об устойчивости.
39. Устойчивость решения линейной однородной системы с постоянными коэффициентами.
40. Уравнения в частных производных первого порядка. Нахождение общего решения линейных уравнений в частных производных. Решение задачи Коши.

"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

Основная литература

1. Л.Э.Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. - М.: Наука, 1969.
1. В.В. Степанов. Курс дифференциальных уравнений.- М.: Наука, 1959.
2. Н.М.Матвеев. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Высшая школа, 1967.
3. А.Н. Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников. Дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1980.
4. А.Ф.Филлипов. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1973.

1. Л.С.Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Наука, 1974.
2. И.Г.Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. - М.: Наука, 1970.
3. Ю.Н.Бибиков. Общий курс обыкновенных дифференциальных уравнений. Изд. ЛГУ, 1981.
4. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. - М.: Наука, 1971.
5. А.А.Розенблюм. Интегрирование дифференциальных уравнений операторным методом. - Горький, ГГУ, 1980.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1],[2],[3],[4] основной литературы и в [3] дополнительной.

Тема 2. Дифференциальные уравнения высших порядков.

Основными учебниками по теме являются [1], [3] основной литературы и [5] дополнительной.

Учебный материал содержится в [1],[2],[3],[4] основной литературы и в [1],[2],[5] дополнительной.

Тема 4. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений.

Тема изложена в [1],[3],[4] основной литературы и в [1],[2],[3] дополнительной.

Тема 5. Первоначальные сведения об уравнениях в частных производных.

Основные положения темы освещены в [1],[2],[4] основной литературы и в [2] дополнительной.