Государственный комитет Российской
Федерации
по высшему образованию
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по общему курсу
АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА
Курс: 1.
Семестр: 1, 2.
Лекции: 64 час.
Практикум: 48 час.
Экзамен: 2 семестр.
Зачет: 1 семестр.
Программа составлена заведующим кафедрой математики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета профессором д.ф.-м.н. Г.А.Уткиным, ассистентом кафедры математики О.Н.Репиным. Н.Новгород 1995 ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"
1. Учебные цели курса.
Курс аналитической геометрии и высшей алгебры является одним из основных математических курсов,лежащих в основе математического образования студентов.
Цель курса - познакомить студентов с кругом задач,рассматриваемых в аналитической геометрии и линейной алгебре и дать необходимый математический аппарат для изучения дальнейших математических и физических курсов.
2. Учебные задачи курса.
В процессе изучения курса студенты должны освоить:
3. Дисциплины, изучения которых необходимо для усвоения курса.
Курс базируется на знаниях студентов.полученных при изучении математики в средней школе.
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"
(наименование тем и их содержание)
1. Векторная алгебра(10 часов).
Понятие вектора.Линейные операции над векторами.Линейная зависимость системы векторов.Геометрический смысл линейной зависимости.Базисы на плоскости и в пространстве, разложение вектора по базису.Проекция вектора на ось.Ортонормироанные базисы,их особенность.Направляющие косинусы вектора.
Скалярное,векторное,смешанное и двойное векторное произведения,их свойства,выражение через координаты сомножителей.Условие ортогональности,коллинеарности,компланарности векторов.
Система координат,координаты точки,преобразование системы координат.
2. Прямая и плоскость (12 часов)
Способы задания линий на плоскости,линий и поверхностей в пространстве.Алгебраические линии и поверхности.
Прямая на плоскости,Различные формы уравнения прямой: общее,параметрическое, каноническое,с угловым коэффициентом,в отрезках,нормальное. Пучок прямых.
Плоскость в пространстве.Различные формы уравнения плоскости: общее, в отрезках, нормальное.Пучок и связка плоскостей.
Прямая в пространстве. Различные формы уравнения прямой:общее,параметрическое, каноническое. Переход от одного задания к другому. Взаимное расположение двух плоскостей,прямой и плоскости,двух прямых в пространстве.
Основные задачи на тему "Прямая и плоскость": расстояние от точки до плоскости и прямой,расстояние между прямыми,углы между прямыми и плоскостями,условие пересечения двух прямых и т.д.
3. Кривые второго порядка (6 часов).
Эллипс,гипербола,парабола,Определение,вывод канонического уравнения каждой из этих кривых,их свойства.Эксцентриситет и директрисы эллипса,гиперболы,параболы.
Полярная система координат. Полярное уравнение эллипса,гиперболы,параболы.
Общее уравнение кривой второго порядка. Приведение общего уравнения к каноническому виду с помощью поворота осей и переноса начала координат.Классификация кривых второго порядка.
4.Матрицы и определители ( 6 часов )
Прямоугольные матрицы. Сумма матриц, произведение матрицы на число, умножение матриц. Свойства этих операций.
Перестановки,инверсии,транспозиции,подстановки.Определитель квадратной матрицы,свойства определителя. Разложение определителя по элементам строки или столбца соответствующей матрицы.Теорема Лапласа. Определитель произведения матриц.
Обратная матрица, критерий обратимости,вычисление обратной матрицы.
5.Системы линейных уравнений ( 6 часов )
Ранг матрицы.Теорема о базисном миноре.Ранг произведения матриц.Элементарные преобразования строк матрицы и их применение к вычислению ранга матрицы.
Системы линейных уравнений.Основные определения:частное и общее решения,совместные и несовместные системы, эквивалентность систем.
Квадратные системы уравнений.Теорема Крамера.
Критерий совместности систем линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли).
Метод Гаусса решения систем лиейных уравнений.
Линейные однородные системы (ЛОС).Свойства решений.Фундаментальная система решений (ФСР).Теорема о числе векторов в ФСР.Структура общего решения ЛОС.
Неоднородные системы (ЛНС).Структура общего решения совместной ЛНС.
6.Линейные пространства ( 6 часов )
Аксиоматика линейного векторного пространства (ЛВП), примеры, свойства ЛВП.
Линейная зависимость системы векторов в ЛВП.Базис и размерность ЛВП. Координаты вектора в данном базисе. Матрица перехода от одного базиса к другому,преобразование координат вектора при переходе к новому базису.
Подпространство. Сумма и пересечение подпространств.Линейные оболочки и теоремы о размерности. Изоморфизм ЛВП.
Евклидово пространство,определение и примеры.Неравенства Коши-Буняковского и треугольника.Общий вид скалярного произведения в конечномерном евклидовом пространстве.Ортогональность и ортонормированность системы векторов.Процесс ортогонализации системы векторов.
7.Линейные операторы в конечномерном линейном векторном пространстве (8 часов)
Определение линейного оператора. Примеры.Образ и ядро линейного оператора.
Матрица линейного оператора в данном базисе. Преобразование матрицы оператора при ереходе от одного базиса к другому.
Действия с линейными операторами.Обратный оператор, его свойства. Критерий обратимости.
Подпространства,инвариантные относительно оператора.Собственные векторы и собственные значения линейного оператора, их свойства.Характеристическое уравнение.
Унитарный и самосопряженный операторы.Свойства собственных значений и векторов самосопряженного оператора.Существование ортонормированного базиса из собственных векторов самосопряженного оператора,нахождение его.
8.Квадратичные формы (8 часов )
Линейная, билинейная и квадратичная формы в ЛВП.Матрица квадратичной формы (КФ) и ее преобразование при переходе к новому базису.Ранг и индекс КФ.Теорема Лагранжа о приведении КФ к диагональному виду. Теорема Якоби. Закон инерции КФ.
Критерий Сильвестра положительной определенности КФ.
Поверхности второго порядка:эллипсоид,гиперболоиды,параболоиды,конусы и цилиндры,их канонические уравнения,свойства.Приведение уравнения поверхности второго порядка к каноническому виду.
ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ
Векторная алгебра - 8 часов
Прямая в плоскости - 6 часов
Плоскость и прямая в пространстве - 8 часов
Кривые второго порядка - 6 часов
Вычисление определителей - 4 часа
Действия с матрицами - 2 часа
Ранг матрицы - 2 часа
Решение систем линейных уравнений - 6 часов
Нахождение собственных векторов и собственных
значений матрицы - 2 часа
Приведение квадратичной формы к каноническому
виду - 4 часа
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ
"АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ И ВЫСШАЯ АЛГЕБРА"
Основная литература
Дополнительная литература.