Государственный комитет Российской Федерации
по высшему образованию
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского

по общему курсу

МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ

для направления подготовки
"физика"
и по специальности
"радиофизика и электроника"

Курс: 1,2 .
Семестр: 1,2,3,4.
Лекции: 188 час.
Практикум: 234 час.
Экзамен: 1,2,3 семестр.
Зачет: 1,2,3,4 семестр

Программа составлена

 заведующим кафедрой математики радиофизического факультета Нижегородского государственного университета профессором д.ф.-м.н. Г.А.Уткиным, доцентом кафедры математики к.ф.-м.н. В.Н.Кошелевым.

Н.Новгород 1995

Учебные цели курса

Основное содержание предлагаемого курса "Математический анализ составляет дифференциальное и интегральное исчисление, являющееся основой математического аппарата современной физики, и поэтому необходимое для точного понимания и прочного усвоения материала всех физических дисциплин. Умения и навыки, которые студенты должны приобрести при изучении курса, являются базовыми для таких математических дисциплин как "Дифференциальные уравнения", "Векторное и тензорное исчисление", "Методы математической физики", "Теория вероятностей и математическая статистика".

Изучение курса "Математический анализ" проходит в течение первых двух годов обучения.

В первом семестре изучается непрерывность, дифференциальное и интегральное исчисление действительных функций вещественного переменного. В самом конце семестра проводится первое знакомство с элементами теории вероятностей, необходимыми для физических курсов в этот период. На это отводится 34 лекции и 51 практическое занятие (на одну группу).

Во втором семестре изучаются дифференциальное и интегральное исчисление векторных функций одного действительного переменного, дифференциальное исчисление функций многих переменных, криволинейные и кратные интегралы. Кроме того, здесь же излагается теория числовых и функциональных рядов и рядов Фурье. На это отводится 32 лекции и 32 практических занятия (на группу).

В третьем семестре в течение 17 лекций и 17 практических занятий предлагается изучить комплексные функции одного комплексного переменного и применение теории вычетов к вычислению несобственных интегралов.

Наконец, в четвертом семестре за 17 лекций и 17 практических занятий изучаются теория интегралов, зависящих от параметра, интегральное преобразование Лапласа, элементы теории обобщенных функций и дается понятие об асимптотических разложениях. Кроме того, здесь же будут даны примеры применения изученного материала для вычисления интегралов и решения дифференциальных уравнений.

2. Учебные задачи курса.

Привить студентам навыки применения дифференциального исчисления к изучению экстремумов функций и построению их графиков. Научить вычислению неопределенных и определенных интегралов, включая несобственные интегралы, как с помощью основной формулы интегрального исчисления, так и с использованием теории вычетов. Ознакомить студентов с основными фактами теории числовых и функциональных рядов, обучить их методам разложения функций в ряды Тейлора, Лорана и Фурье. Изложить элементы теории интегральных преобразований и интегралов, зависящих от параметра, и их применения для вычисления определенных интегралов и решения дифференциальных уравнений. Дать понятие обобщенной функции и асимптотического разложения.

3. Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса.

Для изучения курса "Математический анализ" нужно знать следующие разделы курса "Аналитическая геометрия и высшая алгебра" канонические уравнения кривых и поверхностей 2-го порядка, определители, решение систем линейных уравнений и приведение квадратичных форм к каноническому виду.

1. Введение в математический анализ. 6 часов.

1.1. Общие сведения о предмете. Основные задачи и разделы курса.

1.2. Множества и операции над ними. Некоторые логические символы. Функции и отображения. Образ и прообраз множества при отображении. Отображение "в" и "на". Взаимнооднозначные отображения, эквивалентные множества, мощность. Конечные, счетные и несчетные множества. Мощность континуум. Правила построения отрицательных утверждений.

1.3. Верхние и нижние границы числовых множеств. Расширенная система действительных чисел. Понятие конечномерного векторного пространства. Линейное пространство. Пространство со скалярным произведением. Нормированное пространство. Алгебраическая, тригонометрическая и показательная форма комплексного числа. Извлечение корня из комплексного числа.

2. Теория пределов. 10 часов.

2.1.Метрическое пространство.

2.1.1. Основные понятия в метрическом пространстве. Точка, расстояние, окрестность, предельная и изолированные точки, открытое, замкнутое и ограниченное множества и т.п. Предел последовательности. Теорема о единственности предела. Ограниченность сходящейся последовательности. Теорема о предельной точке.

2.1.2. Фундаментальные последовательности. Теоремы об ограниченности фундаментальной последовательности и о фундаментальности сходящейся последовательности (необходимое условие сходимости последовательности в метрическом пространстве).. Полное метрическое пространство.

2.1.3. Числовые последовательности. Арифметические действия над ними. Предельный переход в неравенствах. Векторные последовательности. Теорема о покоординатной сходимости. Действия над сходящимися векторными последовательностями.

2.1.4. Монотонные числовые последовательности. Подпоследовательности, частичные пределы, верхний и нижний пределы последовательности действительных чисел. Лемма о вложенных отрезках. Теорема Больцано-Веерштрасса. Полнота множества действительных чисел, конечномерного арифметического пространства, множества комплексных чисел. Критерий Коши сходимости последовательности.

2.1.5.Предел функции, заданной в метрическом пространстве. Эквивалентность двух определений предела. Арифметические операции над функциями, имеющими предел. Предел функции действительного переменного, односторонние пределы. Предел функции многих переменных. Критерий Коши существования предела. Предел функции комплексного переменного.

2.1.6. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин. Эквивалентные бесконечно малые и бесконечно большие величины. Шкала бесконечно малых и бесконечно больших величин.

3. Непрерывность функции. 8 часов.

3.1. Непрерывность функции в метрических пространствах. Непрерывность сложной функции.

3.2. Непрерывность функции действительного переменного.

3.2.1. Арифметические действия с непрерывными функциями. Односторонняя непрерывность. Классификация точек разрыва.

3.2.2. Теорема о существовании и непрерывности обратной функции. Непрерывность функций многих переменных. Равномерная непрерывность. Теорема Кантора.

3.2.3. Теоремы Вейерштрасса и Коши о непрерывных функциях.

4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. 16 часов.

4.1. Основные понятия.

4.1.1. Производные и односторонние производные, бесконечные производные. Геометрический и физический смысл производной. Правила дифференцирования.

4.1.2. Дифференциал и его геометрический смысл. Производная сложной функции. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница.

4.1.3.Инвариантность формы первого и неинвариантность формы высших дифференциалов. Параметрически заданные функции и их дифференцирование.

4.1.4. Основные теоремы дифференциального исчисления Ролля, Лагранжа, Коши. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей.

4.1.5. Формула Тейлора и ее связь с задачей приближенного вычисления значений функции. Оценка остаточного члена. Остаточный член в форме Шлемильха, Лагранжа и Коши.

4.1.6. Применение дифференциального исчисления к исследованию функций и построению графиков. Признаки монотонности. Экстремумы и правила их нахождения.

4.1.7. Выпуклость, вогнутость и точки перегиба. Асимптоты.

5. Интегральное исчисление функций одной переменной. 28 часов.

5.1. Неопределенный интеграл.

5.1.1. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной и интегрирование по частям неопределенных интегралов. Примеры.

1.2. Разложение многочлена с действительными коэффициентами на множители. Представление правильной рациональной дроби в виде суммы простейших рациональных дробей.

5.1.3. Интегрирование некоторых иррациональных и трансцендентных функций методом приведения их к интегралам от рациональных функций путем соответствующей замены переменных или интегрированием по частям.

5.2. Определенный интеграл и его приложения.

5.2.1. Два определения интегралов Римана и Римана-Стильтьеса, суммы Дарбу и их свойства.

5.2.2.Условие существования интегралов Римана и Римана-Стильтьеса. Классы интегрируемых функций.

5.2.3. Свойства определенного интеграла. Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница. Теорема о среднем.

5.2.4. Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур, площадей поверхности тел вращения и некоторых объемов.

5.2.5. Параметрически заданные кривые. Длина дуги кривой. Понятие о двух типах несобственных интегралов. Признаки сходимости несобственных интегралов и способы их вычисления.

5.3. Элементы теории вероятностей.

5.3.1. Случайные события. Действия над событиями. Полная группа событий. Классическое определение вероятности. Примеры.

5.3.2. Теорема сложения вероятностей. Условная вероятность и теорема умножения вероятностей. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

5.3.3. Понятие о дискретных и непрерывных случайных величинах. Начальные и центральные моменты. Примеры.

Векторные функции действительного переменного. 14 часов.

6 1 .Пределы и непрерывность.

6.1.1. Двойные и повторные пределы. Примеры.

6.1.2. Непрерывность по совокупности переменных и по отдельной переменной.

6.2. Дифференциальное исчисление функций многих переменных.

6.2.1. Частные производные. Дифференцируемость функции многих переменных. Необходимые условия дифференцируемости.

6.2.2. Достаточные условия дифференцируемости функции многих переменных. Теоремы о взаимосвязи между дифференцируемостью, непрерывностью и существованием частных производных функции многих переменных.

6.2.3. Производная сложной функции. Дифференциал функции многих переменных. Производная по направлению. Градиент. Связь производной по направлению с градиентом. Условие возрастания (убывания) функции в точке.

6.2.4. Производные и дифференциалы высших порядков. Равенство смешанных производных. Исследование функций многих переменных, условие постоянства, условие монотонности в указанном направлении.

6.2.5. Формула Тейлора. Экстремум. Неявные функции. Теоремы о существовании неявной функции.

6.2.6. Функциональные определители. Существование системы неявных функций. Взаимно-однозначное отображение двух множеств векторного пространства.

6.2.7. Условный экстремум. Правило множителей Лагранжа. Примеры.

6.3. Векторные функции действительного переменного.

6.3.1. Определения предел, непрерывность, дифференцируемость и производная, определенный интеграл.

6.3.2. Действия с векторными функциями одного переменного. (предельные переходы, дифференцирование, интегрирование и т.п.). Пространственные кривые. Геометрический смысл производной векторной функции.

7. Кратные и криволинейные интегралы. 18 часов.

7.1. Кратные интегралы.

7.1.1. Площадь многоугольной фигуры. Мера Жордана. Измеримые множества. Необходимое и достаточное условие измеримости множества на плоскости. Свойства меры Жордана.

7.1.2. Определение двойного интеграла. Суммы Дарбу и их свойства. Критерий существования двойного интеграла.

7.1.3. Классы интегрируемых функций. Свойства двойного интеграла. Приведение двойного интеграла к повторному.

7.1.4. Криволиненйные координаты на плоскости. Полярные и эллиптические координаты. Площадь в криволиненых координатах. Замена переменных в двойном интеграле.

7.1.5. Тройной интеграл. Сведение тройного интеграла к повторному. Замена переменных в тройном интеграле. Сферические и цилиндрические координаты.

7.2. Криволиненйные интегралы.

7.2.1. Длина кривой. Вычисление длины кривой. Естественный параметр. Дифференциал длины дуги кривой.

7.2.2. Криволиненйный интеграл первого рода. Определение, вычисление, физический смысл. Криволинейные интегралы на плоскости. Формула Грина.

7.2.3. Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла, условие независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.

8. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье. 20 часов.

8.1. Числовые ряды.

8.1.1. Сходящиеся и расходящиеся ряды. Критерий Коши сходимости числового ряда. Необходимое условие сходимости.

8.1.2. Достаточные признаки сходимости: сравнения, Даламбера, Дирихле, Абеля.

8.1.3. Абсолютная сходимость. Умножение рядов. Перестановка членов ряда.

8.2. Функциональные последовательности и ряды функций.

8.2.1. Поточечная и равномерная сходимость. Признаки равномерной сходимости (критерий Коши, мажорантный признак для последовательности, мажорантный признак Вейерштрассса для ряда).

8.2.2. Признаки Абеля и Дирихле равномерной сходимости.

8.2.3. Равномерная сходимость и непрерывность, равномерная сходимость и интегрирование, равномерная сходимость и дифференцирование.

8.2.4. Степенной ряд. Радиус сходимости. Дифференцирование и интегрирование степенного ряда. Ряд Тейлора.

8.3. Ряды Фурье.

8.3.1. Постановка задачи. Эвклидово пространство. Гильбертово пространство. Скалярное произведение функций, норма функции. Поточечная, равномерная сходимость и сходимость в среднем функциональных последовательностей и рядов.

8.3.2. Обобщенный ряд Фурье. Свойства остатка ряда Фурье. Неравенство Бесселя. Условие сходимости ряда Фурье. Равенство Парсеваля. Замкнутые и полные системы. Ряд Фурье по ортогональной системе элементов.

8.3.3. Тригонометричский ряд Фурье. Разложение четной и нечетной функции в тригонометрический ряд Фурье. Комплексная форма ряда Фурье. Точечная и равномерная сходимость тригонометрического ряда Фурье. Полнота тригонометрической системы функций.

8.3.4. Интеграл Фурье. Интегральные преобразования Фурье.

9. Функции комплексного переменного. 34 часа.

9.1. Непрерывность и дифференцируемость.

9.1.1. Предел и непрерывность.

9.1.2. Дифференцирование функции комплексного переменного, регулярные функции. Условия Коши-Римана в декартовых и полярных координатах.

9.1.3. Элементарные функции комплексного переменного.

9.1.4. Свойства регулярных функций. Геометрический смысл производной. Конформные отображения. Свойства функций, задающих конформные отображения. Отображения, осуществляемые некоторыми элементарными функциями. Дробно-линейные отображения. Основная задача теории конформных отображений. Теорема Римана.

9.2. Интегрирование функции комплексного переменного.

9.2.1. Определение и основные свойства интеграла.

9.2.2. Теорема Коши для односвязной и многосвязной областей. Первообразная аналитической функции, неопределенный интеграл, формула Ньютона-Лейбница. Формула Коши.

9.2.3. Аналитическая зависимость интеграла от параметра. Существование производных всех порядков у регулярной функции. Теоремы Морера и Лиувилля, основная теорема высшей алгебры.

9.3. Ряды аналитических функций.

9.3.1. Первая теорема Вейерштрасса для рядов регулярных функций. Принцип максимума модуля, вторая теорема Вейерштрасса.

9.3.2. Степенные ряды. Теорема Абеля. Радиус сходимости степенного ряда, ряд Тейлора. Теорема о нулях аналитической функции. Теорема о единственности.

9.3.3.Аналитическое продолжение. Продолжение с действительной оси. Продолжение соотношений. Продолжение с помощью рядов. Поверхности Римана. Понятие полной аналитической функции.

9.3.3. Ряд Лорана. Разложение комплексной функции комплексного переменного в ряд Лорана. Классификация изолированных особых точек. Предельные свойства изолированных особых точек.

9.4. Теория вычетов и ее применение к вычислению интегралов.

9.4.1. Определение вычета функции в точке. Формула вычисления вычетов в полюсе порядка m. Вычет в бесконечно удаленной точке. Теорема о вычетах.

9.4.2. Вычисление интегралов вида с использованием теории вычетов.

9.4.2. Несобственные интегралы по бесконечному промежутку. Критерий сходимости Коши, признаки сравнения. Признаки Абеля и Дирихле. Несобственные интегралы от неограниченных функций и признаки их сходимости. Главное значение несобственного интеграла.

9.4.3. Вычисление интегралов вида . Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида

Интегральные преобразования. 34 часа.

10.1. Интегралы, зависящие от параметра.

10.1.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра, их свойства, правило Лейбница дифференцирования по параметру.

10.1.2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра. Равномерная сходимость. Критерий Коши, Абеля и Дирихле равномерной сходимости. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.

10.1.3. Интегралы Эйлера. Интегралы Френеля и Пуассона.

10.2 Интегральные преобразования.

10.2.1. Интегральные преобразования Лапласа, Фурье и Хевисайда. Связь между ними. Формула обращения.

10.2.2. Свойства преобразования Лапласа, лежащие в основе операционного метода. Примеры решения дифференциальных уравнений операционным методом.

10.3. Начальные сведения об асимптотических методах и обобщенных функциях.

10.3.1. Асимптотическая последовательность. Единственность асимптотического разложения, формулы для вычисления коэффициентов. Интегрирование асимптотических разложений. Формула Стирлинга.

10.3.2. Пространство основных и обобщенных функций. Регулярные и сингулярные обобщенные функции.

Основная литература.

1. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа.- Части 1,2.
2. Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления.- т.т. 1,2,3.
3. Свешников А.Г., Тихонов А.Н. Теория функций комплексной переменной.
4. Лаврентьев М.А., Шабат Ю.В. Методы теории функций комплексного переменного.
5. Будак Б.М., Фомин С.В. Кратные интегралы и ряды.
6. У.Рудин. Основы математического анализа. - М.1976.
7. Математический анализ. Основные пространства. Предел последовательности. Методическая разработка. ГГУ., Горький, 1984 год. Составители: Уткин Г.А., Саичев А.И., Кошелев В.Н.

Дополнительная литература

8. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа.- т.т. 1,2.
9. Сидоров Ю.В., Федорюк М.В., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного.
10. Толстов Г.П. Ряды Фурье.
11. Э.Т.Уитеккер, Дж.Н.Ватсон. Курс современного анализа. - т.т. 1,2.
12. Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа. - т.т. 1,2.
13. Соболев И.И. Лекции по дополнительным главам математического анализа. - М.1968.

14. Владимиров В.С. Уравнения математической физики. - 1967.

ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ

1 СЕМЕСТР ( 102 часа на одну группу)

1. Введение в математический анализ - 12 часов

1.1 . Элементарные функции и их графики.(4 часа ).

1 2 . Комбинаторика и бином Ньютона.(4 часа ).

1 3 . Комплексные числа.(4 часа ).

2.. Теория пределов, непрерывность -18 часов.

2.1.. Определение предела последовательности.(2 часа ).

2.2.. Вычисление предела последовательности. (2 часа ).

2.3.. Вычисление предела функции. (6 часов ).

2.4.. Определение предела функции.(2 часа ).

2.5.. Бесконечно малые и бесконечно большие величины.(2 часа ).

2.6.. Непрерывность.(2 часа ).

2.7.. Контрольная работа.(2 часа ).

3. Дифференциальное исчисление функций одной переменной - 12 часов.

3.1. Дифференцирование обычных, параметрически и неявно заданных функций.(6 часов).

3.2. Первый дифференциал.(2 часа).

3.3. Производные и дифференциалы высших порядков.(4 часа).

4. Приложения дифференциального исчисления - 18 часов.

4.1. Правила Лопиталя.(2 часа).

4.2. Приложение производной, уравнение касательной, интервалы возрастания, экстремумы, направление вогнутости.(4 часа).

4.3. Формула Тейлора.(2 часа).

4.4. Исследование функций и построение их графиков (8 часов).

4.5. Контрольная работа по темам 3,4.(2 часа).

5.Интегральное исчисление. Неопределенный интеграл 22 часа.

5.1. Элементарные методы интегрирования. Подстановки (8 часов ). Интегрирование по частям.

5.2.. Интегрирование рациональных выражений.(4 часа ).

5.3. Интегрирование методом рационализации.(8 часов )

5.4. Контрольная работа по теме 5.(2 часа ).

6 Определенный интеграл и его приложения -18 часов.

6.1.. Вычисление определенных интегралов (включая простейшие несобственные) (6 часов ).

6.2.. Приложения вычисление площадей, объемов ,длин дуг, масс тел.(12 часов ).

6.3.. Контрольная работа по теме 6.(2 часа ).

2 СЕМЕСТР (64 часа на одну группу).

7.1. Основные определения. Предел. Непрерывность.(4 часа).

7.2. Дифференцирование явно заданных функций.(4 часа ).

7.3. Дифференцирование неявно заданных функций.(2 часа ).

7.4. Экстремум, условный экстремум, производная по направлению, градиент.(6 часов ).

7.5.. Контрольная работа по теме 7.(2 часа ).

8. Кратные и криволинейные интегралы - 22 часа.

8.1. Вычисление двойных и тройных интегралов.(4 часа ).

8.2. Вычисление криволинейных интегралов.(4 часа ).

8.3. Приложение двойных, тройных и криволинейных интегралов к различным задачам математики и физики.(10 часов )

8.4. Контрольная работа по теме 8.(2 часа ).

9. Ряды - 22 часа.

9.1. Исследование числовых рядов на сходимость. (6 часов).

9.2. Равномерная сходимость функциональных рядов и последовательностей.(8 часов ).

9.3.. Ряды Фурье.(6 часов ).

9.4.. Контрольная работа по теме 9.(2 часа ).

3 СЕМЕСТР (36 ЧАСОВ НА ОДНУ ГРУППУ)

10. Начальные сведения о функциях комплексного переменного - 12 часов.

10.1. Действия с комплексными числами. Комплексные числа в тригонометрической и показательной формах. Извлечение корня из комплексного числа. Геометрическая интерпретация. Знакомство с элементарными функциями. Дифференцирование.(8 часов).

10.2. Конформные отображения.(4 часа).

11. Интегрирование функций комплексного переменного -6 часов.

11.1. Непосредственное вычисление интегралов от функций комплексного переменного. Использование теоремы Коши и формулы Коши.(4 часа).

11.2. Контрольная работа по темам 10 и 11.(2 часа).

12. Ряды аналитических функций - 6 часов.

12.1 Ряд Лорана, особые точки, вычисление вычетов.

13. Применение вычетов к вычислению интегралов.- 12 часов.

13.1. Сходимость несобственных интегралов.(4 часа).

13.2. Вычисление интегралов с помощью вычетов.(6 часов).

13.3. Контрольная работа по темам 12 и 13.(2 часа).

4 СЕМЕСТР (32 ЧАСА НА ОДНУ ГРУППУ)

14. Интегралы, зависящие от параметра. - 16 часов.

14.1. Собственные интегралы, зависящие от параметра.(2 часа).

14.2. Равномерная сходимость, вычисление несобственных интегралов.(6 часов).

14.3. Интегралы Эйлера. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегралов Эйлера.(6 часов).

14.4. Контрольная работа по теме 14.(2 часа).

15. Интегральные преобразования- 10 часов.

15.1. Вычисление изображения по оригиналу и оригинала по изображению с использованием свойств интегральных преобразований.(6 часов).

15.2. Решение дифференциальных уравнений и систем дифференциальных уравнений операционным методом.(4 часа).

16. Обобщенные функции- 6 часов.

16.1. Основные свойства обобщенных функций (4 часа).

16.2. Контрольная работа по темам 15 и 16 (2 часа).

Литература.

1. Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу для университетов) .
2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа
3. Волковыский Л.И., Лунц Г.Л., Араманович И.Г. Сборник задач по теории функций комплексного переменного.
4. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа.

1 СЕМЕСТР.

Тема 1. Введение в математический анализ.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том 1), [2] (том 1), [6], [7], основной и [8] (том 1), [12] (том 1) дополнительной литературы.

Тема 2. Теория пределов.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том 1), [2] (том 1),[6], основной и [8] (том 1), [12] (том 1) дополнительной литературы.

Тема 4. Дифференциальное исчисление функций одной переменной.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том1), [2] (том 1),[6], основной и [8] (том 1), [12] (том 1) дополнительной литературы.

Тема 5. Интегральное исчисление функций одной переменной.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том1), [2] (том 2), основной и [8] (том 1), [12] (том 1) дополнительной литературы.

2 СЕМЕСТР.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том1), [2] (том 2), основной и [8] (том 1), [12] (том 1) дополнительной литературы.

Тема 7.Кратные и криволинейные интегралы.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том2), [2] (том 2,3),[5] основной и [8] (том 2), [12] (том 2) дополнительной литературы.

Тема 8. Числовые и функциональные ряды. Ряды Фурье.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [1] (том2), [2] (том 2,3),[5],[7] основной и [8] (том 2), [12] (том 2) дополнительной литературы.

3 СЕМЕСТР

Тема 9. Функции комплексного переменного.

Основные вопросы темы изложены в учебниках [3],[4],[6] основной и [9] , [10],[13] дополнительной литературы.

4 СЕМЕСТР

Основные вопросы темы изложены в учебниках [3],[4] основной и [11](том 1,2) , [14],[13] дополнительной литературы.

ВОПРОСЫ ДЛЯ КОНТРОЛЯ

1 КУРС 1 СЕМЕСТР.

1. Алгебра множеств.
2. Отображения (функции).
3. Элементы математической логики.
4. Верхние и нижние границы числовых множеств.
5. Точная верхняя и точная нижняя граница числового множества.
6. Определение комплексного числа, алгебраическая, тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
7. Определение пространств R и C .
8. Линейное (векторное) пространство.
9. Пространство со скалярным произведением.
10. Нормированное пространство.
11. Понятие метрики, метрическое пространство.
12. Основные понятия метрического пространства (окрестность, предельная точка, изолированная точка, замкнутое множество, внутренняя точка, открытое множество, ограниченное множество).
13. Ограниченное множество в нормированном пространстве.
14. Последовательность, ограниченная и фундаментальная последовательности, полное пространство.
15. Предел последовательности в метрическом пространстве.
16. Предел числовой последовательности.
17. Предел последовательности векторов (в R и C ).
18. Монотонные последовательности.
19. Подпоследовательность. Частичный предел.
20. Верхний и нижний пределы.
21. Предел функции в метрическом пространстве по Коши и по Гейне.
22. Предел функции многих переменных.
23. Предел функции действительного переменного. Односторонние пределы.
24. Понятие бесконечно малой и бесконечно большой величин, шкала бесконечно малых и бесконечно больших величин.
25. Главная часть бесконечно малой величины.
26. Порядок бесконечно малой (бесконечно большой величины).
27. Непрерывность функции, заданной на метрическом пространстве. Общее определение.
28. Определение сложной функции.
29. Непрерывность и равномерная непрерывность функции многих переменных.
30. Отрезок в R . Ломаная линия в R .
31. Связное множество в R .
32. Критерий Коши существования предела последовательности.
33. Критерий Коши существования предела функции.
34. Теорема Кантора.
35. 1-я и 2-я теоремы Вейерштрасса для непрерывных функций.
36. 1-я и 2-я теоремы Коши для непрерывных функций.
37. Доказать, что в пространстве со скалярным произведением можно ввести норму.
38. Доказать, что в нормированном пространстве можно ввести метрику.
39. Теорема о единственности предела.
40. Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.
41. Теорема о предельной точке множества метрического пространства.
42. Арифметические действия над числовыми последовательностями.
43. Предельный переход в неравенствах.
44. Теорема о пределе монотонной последовательности.
45. Теорема о покоординатной сходимости.
46. Лемма о вложенных промежутках.
47. Теорема Больцано-Вейерштрасса.
48. Свойства последовательности Коши в метрическом пространстве.
49. Критерий Коши сходимости последовательности. Полнота R .
50. Теорема об эквивалентности двух определений предела функции.
51. Теорема об односторонних пределах.
52. Критерий Коши существования предела функции.
53. Теорема о непрерывности сложной функции.
54. Теорема Кантора.
55. 1-я теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
56. 2-я теорема Вейерштрасса для непрерывных функций.
57. 1-я теорема Коши для непрерывных функций.
58. 2-я теорема Коши для непрерывных функций.
59. Определение производной. Односторонние производные. Бесконечная производная.
60. Определение касательной к кривой. Геометрический смысл производных. Уравнения касательной и нормали.
61. Определение дифференцируемой функции. Определение дифференциала.
62. Теорема о непрерывности дифференцируемой функции.
63. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции.
64. Свойства дифференциала функции одного переменного.
65. Теорема Ролля. Ее геометрический смысл.
66. Теорема Коши. Следствие- формула Коши.
67. Теорема Лагранжа. Ее геометрический смысл. Формула конечных приращений Лагранжа.
68. Правило Лопиталя.
69. Определение производных и дифференциалов высших порядков. Нарушение формы инвариантности n-ного дифференциала. Классы C (a,b), C [a,b], C (a,b), C[a,b].
70. Теорема Тейлора. Формула Тейлора с остаточным членом в форме Шлемильха Лагранжа и в форме Пеано. Формула Лагранжа- частный случай формулы Тейлора.
71. Разложение основных функций по формуле Тейлора (с выводом).
72. Условие монотонности функции.
73. Понятие экстремума функции. Определение стационарной и критической точек функции.
74. Необходимое условие экстремума.
75. 1-ое достаточное условие экстремума (через первую производную).
76. Второе достаточное условие экстремума (через высшие производные).
77. Определение выпуклой и вогнутой функции. Определение точек перегиба.
78. Геометрический смысл выпуклости (вогнутости) функции.
79. Понятие выпуклой и вогнутой кривой.
80. Два условия выпуклости (вогнутости) функции.
81. Необходимое условие точек перегиба. Достаточное условие точек перегиба.
82. Определение первообразной. Теорема о разности первообразных. Понятие неопределенного интеграла.
83. Свойства неопределенного интеграла.
84. Замена в неопределенном интеграле. Интегрирование по частям.
85. Разложение правильной дроби на простейшие дроби.
86. Интегрирование простейших дробей.
87. Интегрирование иррациональных функций. Интегрирование биноминальных дифференциалов.
88. Подстановки Эйлера.
89. Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции.
90. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла. Первое определение определенного интеграла (разбиение сегмента, диаметр разбиения, интегральная сумма, интеграл). Определение предела интегральной суммы.
91. Второй подход к задаче о нахождении площади криволинейной трапеции. Определение площади криволинейной трапеции.
92. Понятие интеграла Римана (суммы Дарбу, верхний и нижний интегралы, второе определение определенного интеграла). Класс R[a,b].
93. Теорема о существовании верхнего и нижнего интеграла Римана.
94. Определение интеграла Римана- Стильтеса (суммы Дарбу, верхний и нижний интегралы Римана- Стильтьеса). Класс R [a,b]. Интеграл Римана- частный случай интеграла Римана- Стильтьеса (без доказательства).
95. Теорема об измельчении разбиения.
96. Критерий существования интеграла Римана- Стильтьеса (лемма и теорема).
97. Классы интегрируемых функций (2 теоремы).
98. Понятие интегральной суммы Римана- Стильтьеса. Ее связь с суммами Дарбу. Суммы Дарбу- как верхняя и нижняя грани интегральной суммы. Определение предела интегральной суммы Римана- Стильтьеса.
99. Теорема о пределе интегральной суммы. Пример функции, интегрируемой по Риману- Стильтьесу но не имеющей предела интегральной суммы.
100. Достаточные условия существования предела интегральной суммы Римана-Стильтьеса (без доказательства). Теорема об эквивалентности двух определений интеграла Римана.
101. Физический смысл интеграла Римана- Стильтьеса.
102. Колебание функции. Формулы вычисления колебания функции. Лемма о колебаниях функции.
103. Свойства интегрируемых функций.
104. Свойства интеграла Римана, выражаемые равенствами.
105. Свойства интеграла Римана, выражаемые неравенствами.
106. Интеграл, как функция верхнего предела. Теорема о непрерывности и дифференцируемости.
107. Основная теорема интегрального исчисления.
108. Теорема о среднем для интегрального исчисления. Следствия.

ПЕРВЫЙ КУРС 2-ОЙ СЕМЕСТР

109. Определение несобственных интегралов первого типа. Эталонные интегралы.
110. Определение несобственных интегралов второго типа. Свойства сходящихся интегралов.
111. Критерий Коши сходимости несобственных интегралов.
112. Общий признак сравнения для несобственных интегралов. Предельный признак сравнения.
113. Абсолютная сходимость несобственных интегралов. Признак Абеля. Признак Дирихле.
114. Расширение методов интегрирования на несобственные интегралы.
115. Главные значения несобственных интегралов.
116. Доказать теорему о вероятности суммы двух событий.
117. Вывести основные свойства вероятности (при ее классическом определении).
118. Условная вероятность. Доказать теорему об умножении вероятностей.
119. Вывести формулу полной вероятности.
120. Доказать теорему гипотез (формула Байеса).
121. Определение дискретной и непрерывной случайной величины.
122. Доказать свойства функции распределения случайной величины.
123. Вывести формулы связи между начальными и центральными моментами случайной величины.
124. Вывести необходимое условие дифференцируемости функции многих переменных.
125. Доказать теорему о связи непрерывности функций многих переменных по совокупности с непрерывностью по отдельной переменной.
126. Как связаны между собой непрерывность, дифференцируемость и существование частных производных в данной точке для функции многих переменных. Ответ обосновать.
127. Доказать теорему о достаточных условиях дифференцируемости функции многих переменных в точке.
128. Вывести формулу производной сложной функции многих переменных.
129. Доказать теорему об инвариантности формы записи первого дифференциала функции многих переменных.
130. Вывести условия возрастания (убывания) функции многих переменных в заданной точке и в данном направлении.
131. Вывести достаточное условие экстремума функции двух переменных.
132. Вывести достаточное условие экстремума функции многих переменных.
133. Геометрический смысл производной векторной функции скалярного аргумента Обосновать.
134. Доказать теорему об умножении функциональных определителей (Якобианов).
135. Вывести формулу Тейлора для функции двух (или многих) переменных.
136. Доказать теорему о существовании и единственности функции заданной неявно равенством
137. Вывести необходимое и достаточное условие измеримости (квадрируемости) плоской фигуры.
138. Доказать основные св-ва плоскостной меры Жордана.
139. Вывести необходимое и достаточное условие существования двойного интеграла.
140. Перечислить основные св-ва двойного интеграла. Доказать теорему о среднем для него.
141. Доказать теорему о рав-ве повторных интегралов.
142. Доказать формулу вычисления двойного интеграла через повторный в случае прямоугольной области.
143. Доказать формулу вычисления двойного интеграла через повторный в случае криволинейной области.
144. Вывести формулу вычисления тройного интеграла для прямоугольной области.
145. Доказать, что плоская спрямляемая кривая имеет площадь, равную нулю и теорему о квадрируемости области с кусочно-гладкой границей.
146. Дать определение сумм Дарбу для двойного интеграла и доказать их свойства.
147. Доказать интегрируемость непрерывной функции и функции ограниченной с множеством точек разрыва площади нуль.
148. Доказать теорему о вычислении длинны кривой. Определение длинны кривой.
149. Доказать теорему о вынесении общего множителя за знак суммы ряда и теорему о сходимости ряда, являющегося суммой двух сходящихся рядов.
150. Доказать, что из абсолютной сходимости ряда следует его сходимость.
151. Доказать признак Лейбница. Если ряд сходиться, будет ли он обязательно сходиться абсолютно. Доказать!
152. Доказать теорему об умножении рядов.
153. Доказать теорему Коши о перестановочности членов абсолютно сходящегося ряда.
154. Доказать критерий Коши сходимости числового ряда.
155. Доказать необходимое и достаточное условие сходимости числового ряда с неотрицательными членами.
156. Первый признак сравнения для рядов с неотрицательными членами.
157. Доказать, что отбрасывание конечного числа членов ряда не влияет на его сходимость.
158. Доказать второй (предельный) признак сравнения для числовых рядов.
159. Доказать признак Коши сходимости числового ряда.
160. Доказать признак Даламбера сходимости числового ряда.
161. Обосновать теорему Римана для не абсолютно сходящегося ряда.
162. Доказать предельный признак сходимости для числовых рядов.
163. Доказать интегральный признак сходимости числового ряда.
164. Доказать теорему о почленном дифференцировании функциональной последовательности и ряда.
165. Доказать теорему о равенстве
166. Доказать теорему о непрерывости предела равномерно сходящейся последовательности непрерывных функций.
167. Доказать теорему об отношениях, связывающих равномерную сходимость, точечную сходимость и сходимость в среднем для функциональной последовательности (ряда)
168. Доказать мажорантный признак Вейерштраса сходимости функционального ряда.
169. Доказать признак Коши равномерной сходимости функциональной последовательности и функционального ряда.
170. Доказать мажорантный признак сходимости функциональной последовательности.
171. Доказать теорему о равенстве
172. Доказать теорему о непрерывности суммы ряда из непрерывных функций.
173. Доказать признаки Абеля-Дирихле о равномерной сходимости ряда
174. Доказать теорему о почленном интегрировании ряда из интегрируемых функций.
175. Доказать теорему Абеля о равномерной сходимости степенного ряда на отрезке [0,R].
176. Доказать теорему Абеля о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.
177. Доказать замкнутость тригонометрической системы функций в пространстве непрерывных функций с периодом 2.
178. Доказать что замкнутая в пространстве H система является полной в этом пространстве.
179. Записать формулу замены переменных при вычислении плоской фигуры. Доказать принцип локализации для ряда Фурье.
180. Записать формулу замены переменных для двойного интеграла. Доказать признак Дини точечной сходимости ряда Фурье.
181. Доказать, что ряд Фурье периодической функции, имеющей не более конечного числа точек разрыва 1-го рода, все точки которой правильные, сходиться к функции
182. Доказать, что для сходимости ряда Фурье, соответствующего элементу f по норме необходимо и достаточно, чтобы для этого элемента выполнялось равенство Ляпунова.
183. Доказать, что из сходимости ряда Фурье по норме следует равенство Ляпунова т.е.
184. Доказать, что в Гильбертовом пространстве из полноты системы ортонормальных элементов следует ее замкнутость.
185. Вывести формулу Дирихле для частичной суммы ряда Фурье по тригонометрической системе функций.
186. Доказать теорему о равномерной сходимости ряда Фурье периодической ломаной линии.
187. Док-ть теорему о круге и (и радиусе) сходимости степенного ряда.
188. Доказать "минимизирующее свойство" коэффициентов ряда Фурье.
189. Обосновать явление Гиббса для периодической функции.
190. Доказать теорему Вейерштраса о равномерном приближении непрерывной и периодической с периодом 2p функции тригонометрическим полиномом.
191. Доказать, что где коэф. Фурье для .
192. Доказать лемму Римана
193. Доказать признак Либшица точечной сходимости ряда Фурье.
194. Доказать теорему о равномерной сходимости степенного ряда внутри его круга сходимости.
195. Ряд Тейлора. Ряды Тейлора для элементарных функций , sinx, cosx, ln(1+x), .
196. Доказать, что степенной ряд есть ряд Тейлора своей суммы.
197. Доказать теорему об абсолютной сходимости степенного ряда внутри его круга сходимости.
198. Доказать теорему о почленном интегрировании и дифференцировании степенного ряда внутри его круга сходимости.
199. Обосновать теорему Римана для неабсолютно сходящегося ряда.

2-КУРС, 3 СЕМЕСТР

1. Определение функции комплексного переменного. Определение функции комплексного переменного по Коши и по Гейне. Нахождение предела функции комплексного переменного. Непрерывность и равномерная непрерывность.
2. Определение производной функции комплексного переменного. Дифференцируемая функция. Необходимое и достаточное условие дифференцируемости функции комплексного переменного. Условия Коши-Римана. Формула нахождения производной.
3. Условия Коши-Римана в полярных координатах. Формула вычисления производной. Пример: степенная функция.
4. Свойства аналитических функций.
5. Геометрический смысл производной функции комплексного переменного. Свойства сохранения углов и постоянства растяжения.
6. Определение конформного отображения. Понятие однолистной функции. Функции, осуществляющие конформные отображения.
7. Круговое свойство дробно-линейной функции. Отображение верхней полуплоскости на единичный круг.
8. Отображения, осуществляемые элементарными функциями.
9. Основная задача теории конформных отображений. Теоремы Римана. Привести пример отображения сложной области на единичный круг.
10. Определение интеграла от функции комплексного переменного. Теорема о вычислении интеграла.
11. Свойства интеграла от функции комплексного переменного.
12. Теоремы Коши для односвязной и многосвязной областей.
13. Первообразная аналитической функции (теорема и определение).
14. Неопределенный интеграл (теорема и определение). Формула Ньютона-Лейбница.
15. Формула Коши. Следствие. Формула среднего значения.
16. Аналитическая зависимость интеграла от параметра.
17. Существование производных всех порядков аналитической функции.
18. Теорема Морера. Теорема Лиувилля. Основная теорема Алгебры.
19. Ряды аналитических функций. Первая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
20. Принцип максимума модуля аналитической функции. Вторая теорема Вейерштрасса для рядов аналитических функций.
21. Определение степенного ряда. теорема Абеля. Следствия.
22. Теорема Тейлора.
23. Нули аналитической функции. Единственность определения аналитической функции.
24. Определение аналитического продолжения. Продолжение соотношений с действительной оси. Полная аналитическая функция.
25. Определение ряда Лорана. Область сходимости ряда Лорана. Теорема о разложении аналитической функции в ряд Лорана.
26. Разложение в ряд Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки.
27. Классификация изолированных особых точек.
28. Предельные свойства изолированных особых точек (доказательство для полюса). Связь полюсов и нулей.
29. Определение вычета. Вычисление вычетов.
30. Основная теорема теории вычетов. Теорема о сумме вычетов.
31. Вычисление интегралов, содержащих тригонометрические функции, с помощью вычетов.
32. Вычисление интегралов вида с помощью вычетов.
33. Лемма Жордана. Вычисление интегралов вида с помощью вычетов.

2 КУРС, 4 СЕМЕСТР

34. Определение собственных интегралов, зависящих от параметра с постоянными пределами интегрирования. Непрерывность собственных интегралов, зависящих от параметра с постоянными пределами интегрирования.
35. Интегрирование и дифференцирование собственных интегралов, зависящих от параметра с постоянными пределами интегрирования.
36. Определение собственных интегралов, зависящих от параметра с переменными пределами интегрирования. Непрерывность собственных интегралов, зависящих от параметра с переменными пределами интегрирования.
37. Дифференцирование собственных интегралов, зависящих от параметра с переменными пределами интегрирования.
38. Равномерная сходимость несобственного интеграла, зависящего от параметра. Критерий Коши равномерной сходимости.
39. Признак Вейерштрасса и признак Абеля равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
40. Признак Дирихле и признак Дини равномерной сходимости несобственного интеграла, зависящего от параметра.
41. Свойства несобственных интегралов, зависящих от параметра.
42. 1-я теорема о несобственном интегрировании по параметру.
43. 2-я теорема о несобственном интегрировании по параметру.
44. Интеграл Пуассона.
45. Интегралы Френеля.
46. Определение Эйлеровых интегралов. Область сходимости Эйлеровых интегралов.
47. Непрерывность Эйлеровых интегралов.
48. Свойства "гамма-функции". Свойство симметрии "бета-функции". Формула приведения для "бета-функции".
49. Связь между Эйлеровыми интегралами.
50. Вывод формулы дополнения.
51. Определение преобразования Лапласа. Область существования.
52. Расширение класса функций, допускающих преобразование Лапласа.
53. Линейность изображения. Теорема подобия. Примеры.
54. Теорема запаздывания. Примеры.
55. Изображение периодической функции. Пример.
56. Изображение производной и изображение интеграла.
57. Изображение свертки. Пример.
58. Дифференцирование и интегрирование изображения.
59. Применение теоремы интегрирования изображения для вычисления несобственных интегралов. Теорема смещения.
60. Лемма Жордана. Следствие.
61. Формула Меллина.
62. Достаточные условия существования оригинала.
63. Теорема разложения.
64. Решение линейных дифференциальных уравнений операционным методом. Пример.
65. Метод интеграла Дюамеля. Пример.
66. Решение систем уравнений дифференциальных операционным методом. Пример.