Государственный комитет Российской Федерации
по высшему образованию
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского

по общему курсу

для направления подготовки
"физика"
и по специальности
"радиофизика и электроника"

Курс: 2
Семестр: 4
Лекции 34 час.
Экзамен - 4 семестр
Практикум 17 час..

 Программа составлена
 професссором кафедры математики д.ф.-м.н. А.И. Саичевым

1. Учебные цели курса.

При решении прикладных и теоретических задач часто приходится сталкиваться со случайными явлениями. Сюда относятся, например, шумы радиотехнических устройств, турбулентные неоднородности атмосферы, случайным образом искажающие параметры распространяющихся в ней электромагнитных волн. Эти и многие другие стохастические физические явления требуют от специалиста радиофизика овладения понятиями и методами теории вероятностей, основами теории случайных процессов и полей, идеями и методами математической статистики. В данном курсе основное внимание уделяется тем разделам теории вероятности и математической статистики, которые необходимы при обработке результатов эксперимента, анализе явлений, возникающих в физических и радиофизических приложениях,

2. Учебные задачи курса.

В процессе изучения дисциплины студенты должны приобрести знание основных понятий и фактов теории вероятностей, теории случайных процессов и математической статистики, владение современной терминологией в данных областях. Умение практически решать вероятностные задачи, квалифицированно производить статистическую обработку экспериментальных данных.

3. Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса.

Для успешного овладения данной дисциплиной студентам необходимо освоить следующие предметы: "Математический анализ" (особенно разделы - дифференцирование функций одной и многих переменных, интегрирование, теория рядов, преобразование Фурье, определенные и кратные интегралы, несобственные интегралы, специальные функции, элементы теории функциональных пространств), "Высшая алгебра" (матрицы и определители, линейные пространства, решение систем линейных уравнений)

 СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

1. Основания теории вероятностей. 6 часов.

1.1. Краткая историческая справка возникновения и развития теории вероятностей. Понятие испытания, случайного события, относительной частоты появления случайного события. Частотное определение вероятности случайного события. Свойство устойчивости относительных частот.

1.2. Схема шансов. Примеры экспериментов, приводящих к схеме шансов. Элементы комбинаторики. Выборки с возвращением и без, размещения и сочетания. Формулы для числа размещений и сочетаний, задача о "разбрасывании шаров по ящикам", гипергеометрическое распределение, статистики Максвелла-Больцмана, Бозе-Эйнштейна, Ферми-Дирака.

1.3. Геометрическая схема исчисления вероятностей. Пример Бюффона. Эвристическая ценность геометрической схемы. Понятия и геометрическая иллюстрация несовместных событий, противоположного, достоверного и невозможного событий, теоремы сложения теории вероятностей.

1.4. Аксиоматика теории вероятностей. Операции теории множеств. Алгебра событий, минимальная алгебра, полная алгебра, s -алгебра. Аксиоматика Колмогорова.

2. Статистически зависимые и независимые случайные события. 4 часа.

2.1. Понятие условной вероятности и связь ее с безусловными вероятностями. Теорема умножения вероятностей.

2.2. Гипотезы. Формула полной вероятности. Априорные и апостериорные вероятности. Формула Байеса.

2.3. Понятие статистически независимых случайных событий. Теорема умножения для независимых случайных событий. Условия статистической независимости 3-х случайных событий.

2.4. Схема Бернулли независимых испытаний. Биномиальное распределение. Закон Пуассона (редких событий). Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа.

3. Случайные величины и их статистические характеристики. 16 часов.

3.1. Понятие и примеры случайных величин. Дискретная случайная величина. Вероятности значений дискретных величин. Условие нормировки. Примеры дискретных случайных величин с конечным и бесконечным набором значений.

3.2. Непрерывная случайная величина. Интегральная функция распределения. Ее свойства. Дифференциальная функция распределения непрерывной случайной величины и ее интерпретация как плотности распределения вероятностей. Свойства неотрицательности и нормировки плотности вероятностей. Случайные величины смешанного типа.

3.3. Законы распределения функций от случайных величин. Совместные функции распределения случайных величин. Распределение суммы, произведения и частного 2-х случайных величин. Условные законы распределения. Независимые случайные величины.

3.4. Математическое ожидание (статистическое среднее) дискретной случайной величины. Статистический смысл математического ожидания. Схема Лебега для определения математического ожидания произвольной случайной величины. Вычисление среднего через функцию распределения. Моментные характеристики случайной величины и набора случайных величин. Дисперсия, коэффициент корреляции, корреляционная матрица и их свойства. Кумулянты. Условные статистические параметры.

3.5. Комплексная случайная величина. Определение и основные свойства характеристической функции. Теорема Бохнера-Хинчина, Вычисление центральных моментов и кумулянтов через характеристическую функцию. Характеристическая функция случайного вектора.

3.6. Виды сходимости последовательности случайных величин. Закон больших чисел (теоремы Маркова, Чебышева, Бернулли, Колмогорова). Центральная предельная теорема

3.7. Основы теории случайных процессов. Определение случайной функции в узком и широком смыслах. Теорема Колмогорова. Некоторые классы случайных процессов (гауссовы, марковские процессы, винеровский и пуассоновский процессы, стационарные случайные процессы)

3.8. Корреляционный анализ случайных процессов. Гильбертовы случайные процессы. Непрерывность, дифференцируемость и интегрируемость в среднем квадратичном случайных процессов. Эргодические свойства случайных процессов. Элементы спектрального анализа стационарных случайных процессов. Спектральная плотность мощности и ее свойства.

4. Элементы математической статистики. 8 часов.

4.1. Основные задачи математической статистики. Выборочный метод. Понятия выборки, выборочного пространства, статистики.

4.2. Статистические критерии. Проверка простой и сложной гипотез. Критерии для проверки гипотез о параметрах нормального и биномиального распределений.

4.3. Точечная и интервальная оценка статистического параметра. Неравенство Рао-Крамера. Точечные оценки среднего значения и дисперсии случайной величины. Понятия несмещенной, состоятельной и эффективной оценок параметров. Приближенный и точный методы построения доверительных интервалов для оценки математического ожидания. Доверительные интервалы для параметров нормального распределения.

Темы практических занятий

1. Вероятностное пространство. Классический и геометрический способы задания вероятностей. 2 часа.

2. Условная вероятность. Формула полной вероятности. Формула Байеса. Теоремы сложения и умножения вероятностей. Независимые случайные события. 2 часа.

3. Дискретные случайные величины, их статистические характеристики. Схема Бернулли. Аппарат производящих функций. 2 часа.

4. Непрерывные случайные величины. Нормальное распределение. Распределения функций от случайных величин. 2 часа.

5. Аппарат характеристических функций. Определение статистических характеристик случайных величин с помощью их характеристических функций. 2 часа.

6. Элементы математической статистики. 2 часа.

7. Корреляционная теория случайных процессов. 2 часа.

Вопросы для контроля

1. Относительная частота и частотный смысл вероятности случайного события. Свойство статистической устойчивости случайных событий.

2. Классическое определение вероятности. Схема шансов. Примеры.

3. Достоверное, невозможное, противоположное и несовместное события. Свойства их вероятностей.

4. Геометрическое определение вероятностей. Задача о встрече. Задача Бюффона.

5. Алгебра событий. Объединение, пересечение разность и дополнение событий.

6. Аксиоматическое построение теории вероятностей. Понятие вероятностного пространства (W , A , R ). Понятие s -алгебры.

7. Вероятность суммы двух случайных событий.

8. Понятие условной вероятности.

9. Теорема умножения вероятностей зависимых и независимых случайных событий.

10. Понятие гипотез. Формула полной вероятности.

11. Формула Байеса.

12. Независимые случайные события. Условие независимости 3-х случайных событий.

13. Схема испытаний Бернулли. Биномиальное распределение.

14. Предельная теорема Пуассона о редких событиях. Закон Пуассона.

15. Локальная теорема Муавра-Лапласа.

16. Интегральная теорема Муавра-Лапласа

17. Закон больших чисел (теорема Бернулли).

18. Понятие интегральной функции распределения случайной величины.

19. Понятие дискретной случайной величины (на примерах).

20. Общие свойства интегральной функции распределения.

21. Непрерывная случайная величина, свойства плотности вероятностей.

22. Плотность вероятностей гауссовой (нормальной) случайной величины.

23. Векторные случайные величины, их совместная функция распределения.

24. Совместная плотность вероятностей 2-х случайных величин. Ее свойства.

25. Независимые случайные величины.

26. Условные функция распределения и плотность вероятностей.

27. Гауссова плотность вероятностей.

28. Плотность вероятностей функции от случайной величины.

29. Плотность вероятностей суммы случайных величин.

30. Определение и основные свойства математического ожидания.

31. Дисперсия и стандарт отклонения случайной величины. Свойства дисперсии.

32. Неравенство Чебышева и закон больших чисел.

33. Корреляционная матрица и коэффициенты корреляции.

34. Моменты и центральные моменты случайной величины.

35. Характеристическая функция, ее свойства.

36. Кумулянты случайной величины. Коэффициенты асимметрии и эксцесса.

37. Центральная предельная теорема.

38. Основные понятия математической статистики.

39. Несмещенность, эффективность и состоятельность оценки параметров.

40. Оценка математического ожидания.

41. Оценка дисперсии.

42. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

43. Распределение Стьюдента и его применение в математической статистике.

44. c ² - распределение и его применение в математической статистике

Основная литература

1. В. В. Гнеденко. Курс теории вероятностей. М.-Наука, 1988.
2. В. П. Чистяков. Курс теории вероятностей. М.-Наука, 1982.
3. А. А. Боровков. Теория вероятностей. М.-Наука, 1988.
4. Б. А. Севастьянов. Курс теории вероятностей и математической статистики. М.-Наука, 1982.
5. Сборник задач по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных функций (под редакцией А. А. Свешникова).

Дополнительная литература

1. И. Н. Коваленко, А. А. Филлипов. Теория вероятностей и математическая статистика. М. -Высшая школа, 1988.
2. Е. С. Вентцель. Теория вероятностей. М.-Наука, 1969.
3. И. И. Гихман, А. В. Скороход, М. И. Ядренко . Теория вероятностей и математическая статистика. Киев - Высшая школа, 1979.
4. И. И. Гихман, А. В. Скороход. Введение в теорию случайных процессов. М.-Наука, 1969.
5. А. Т. Гаврилин, О. Н. Репин, И. П. Смирнов. Задачи по теории вероятностей, математической статистике и теории случайных процессов. Методическая разработка для студентов дневного отделения радиофизического факультета. Горький,ГГУ, 1983.
6. Г. И. Агапов. Задачник по теории вероятностей. М. - Высшая школа, 1994.

 ОБЗОР РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ ПО ТЕМАМ КУРСА

Тема 1. Основания теории вероятностей.

Вопросы данной темы подробно изложены в учебниках [1-4] основного списка литературыи в учебниках [1-3] дополнительного списка.

Тема 2. Статистически зависимые и независимые случайные события

Основными учебниками по указанной теме могут служить [1,2] из основного списка литературы и учебники [1-3] из дополнительного списка.

Тема 3. Случайные величины и их статистические характеристики.

Излагаемый здесь учебный материал можно найти в учебниках [1-4] асновного списка литературы и в учебниках [1-4] дополнительного списка.

Тема 4. Элементы математической статистики.

Тема достаточно подробно изложена в учебниках [1-3] основного списка и в учебниках [1-3] дополнительного.