Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н. Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
курса
"АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ В ЭЛЕКТРОДИНАМИКЕ
И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ"
для направления подготовки 511500 - Радиофизика
(цикл специальных дисциплин)
и
для специальности
071500 - Радиофизика и электроника
(цикл специальных дисциплин)
Н.Новгород - 2001

1. Организационно-методический раздел.

    Программа предназначена для подготовки бакалавров и магистров радиофизики, а также специалистов по радиофизической специальности "Радиофизика и электроника". Курс "Асимптотические методы в электродинамике и их приложения" читается в 6-7 семестрах для студентов радиофизического факультета, специализирующихся на кафедре электродинамики. Он базируется на знаниях студентов, приобретенных в курсах математического анализа, методов математической физики, классической и прикладной электродинамики. Знание дисциплины необходимо для успешной работы в области лазерной физики и нелинейной оптики, физики электронных приборов большой мощности, электродинамики сверхразмерных систем, теории дифракции.
    Целью курса является усвоение студентами современных методов исследования электромагнитных полей в области достаточно высоких частот, когда размеры области, занятой полем, существенно превышают длину волны.
    В результате изучения дисциплины студенты должны овладеть знанием методов геометрической оптики и квазиоптики умением применять эти методы к решению конкретных задач распространения, дифракции и локализации волн в линейных и нелинейных средах.

ЧАСТЬ I.

I. ВВЕДЕНИЕ

    Внутренний и внешний пространственные масштабы в случае уравнения Гельмгольца. Область коротковолновой асимптотики. Квазимонохроматические поля. Основные сведения из общего курса электродинамики.

II. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА (ГО).

    Геометрическое приближение для монохроматических полей в стационарных неоднородных средах. Переход от уравнения Гельмгольца к уравнениям ГО. Понятие асимптотического разложения. Уравнение эйконала Уравнение переноса для лучевой амплитуды. Переход от уравнений Максвелла к уравнениям ГО. Вывод уравнений ГО из уравнений второго порядка для уравнений электромагнитных волн. Условия применимости ГО. Прямые и обратные задачи ГО.
    Исследование уравнений ГО для электромагнитного поля. Лучи и волновые фронты. Лучевой вектор. Оптическая длина пути. Принцип Ферма. Плотность энергии и поток энергии в ГО. Простейшие решения уравнения эйконала - плоские однородные и неоднородные волны, цилиндрические, сферические волны.
    Комплексный эйконал и комплексный лучевой вектор. Сферические волны с центром в комплексной точке. Интенсивность света. Лучевые трубки. Изменение интенсивности вдоль лучевых трубок. Изменение интенсивности света в однородной среде. Каустики. Изменение интенсивности света в неоднородной среде.
    Изменение амплитуды и поляризации электромагнитных волн вдоль лучей. Геометрическая интерпретация уравнения для поляризации. Уравнение эйконала в полярных координатах в однородной и радиально- неоднородной средах. Связь с решениями уравнения эйконала для плоскослоистой cреды. ГО на сфере. Применение конформных преобразований к геометрооптическим решениям на плоскости.
    Дифференциальное уравнение второго порядка для лучей в неоднородной среде. Аналогия с механикой материальной точки. Пример: лучи в сферически симметричной неоднородной среде. Формула Бугера. Пример: распределение интенсивности в прозрачном диэлектрическом цилиндре. Аналогия движения лучей в сферически симметричных средах с механикой материальной точки в центральном поле. Финитные и инфинитные траектории. Кривизна лучей.
    Использование решения лучевых уравнений для определения изменения интенсивности вдоль лучей. Лемма Соболева и ее применение к лучевым уравнениям. Пример: изменение интенсивности в плоско- слоистой среде. Лучи в линзоподобных (фокусирующих) средах. Идеальная фокусировка. Параксиальные лучи. Уравнение для параксиальных лучей. Матричный метод описания лучей в центрированных оптических системах.
    Координаты луча. Лучевая матрица для параксиальных лучей. Матрицы перемещения и преломления лучей на плоской и сферической границах. Матрица преобразования для плоско-слоистой среды, толстой и тонкой линз. Матрица Фурье-преобразования и изменения масштаба. Пример: определение фокусного расстояния линзы в неоднородной среде. Матричные тождества. Эквивалентные оптические системы.
    Свойства матриц преобразования лучей в центрированных и нецентрированных системах. Сопоставление матриц и оптических систем. Преобразование лучей зеркалами. Матричное описание свойств оптической системы. Матрицы преобразования лучей в фокальной плоскости оптической системы, между сопряженными, главными плоскостями, преобразование телескопической системой. Влияние на оптическую систему ограничивающих диафрагм. Свойства линзового преобразования лучей.
    Cвязь лучевого и волнового описаний в параксиальной квазиоптике. Лучевые матрицы и соответствующие им операторы преобразования волнового пучка. Лучевой образ сферической волны. Преобразование матрицы сферической волны оптической системой.
    Гауссов пучок - сферическая волна с комплексным центром. Лучевой образ гауссова пучка. Комплексная кривизна волнового фронта и ее связь с шириной и радиусом кривизны волнового фронта гауссова пучка. Расходимость гауссова пучка. Инвариант гауссова пучка. Преобразование гауссова пучка периодической оптической системой. Пример: гауссов пучок в двухзеркальном резонаторе.
    Обобщение лучевого описания на комплексные матрицы: линзоподобная среда с поглощением, диафрагменный волновод. Общая классификация резонаторов по свойствам их лучевых матриц.

 ЧАСТЬ II

III. ГЕОМЕТРИЧЕСКАЯ ОПТИКА В НЕОДНОРОДНЫХ И НЕСТАЦИОНАРНЫХ СРЕДАХ.

    Уравнение эйконала в общем случае. Уравнение переноса волнового вектора и частоты. Лучи в пространственно- временных координатах. Примеры различных сред. Роль изочастот в построении лучевой картины. Пример: волна на поверхности неоднородного потока жидкости.
    Принцип Уизема. Волны амплитуды в неоднородных нестационарных средах. Адиабатическое взаимодействие длинных и коротких волн в жидкости и плазме. Аналогия движения ВЧ пакетов в поле НЧ волны с движением частиц. Изменение спектра ВЧ волн в поле НЧ волны.

IV. КВАЗИОПТИКА

    Неприменимость ГО в окрестности каустик, фокальных точек, в области полутени и т.п. Интегральный подход к описанию полей дифракционных излучателей. Дифракционная формула Френеля. Метод стационарной фазы. Поле в окрестности каустики. Функция Эйри и ее применение к описанию полей вблизи каустики.
    Дифференциальный подход к описанию дифракционных излучателей (метод параболического уравнения). Параболическое уравнение (ПУ) для полей в слабо неоднородных средах. Условия применимости ПУ. Факторизация уравнения Гельмгольца. Связанные уравнения для "прямых" и "обратных" волн. Переход к одноволновому описанию с помощью ПУ.
    Описание параболическим уравнением сильно расходящихся пучков и поля в окрестности каустик. Роль дисперсионных уравнений в построении квазиоптического приближения. ПУ для квазимонохроматических пакетов в неоднородных средах.
    Волновые пучки в линзоподобной среде, структура их полей, вырождение типов волн. Связь волновых решений с геометрической оптикой. Пульсирующие пучки в линзоподобной среде. Автомодельные решения параболического уравнения для линзоподобной среды.
    Квазиоптические волноводы и резонаторы. Неприменимость традиционных волновых и колебательных систем СВЧ-диапазона в области очень коротких длин волн. Сгущение спектра в сверхразмерных волноводах и резонаторах.
    Физические принципы удержания полей и разрежения их спектров в открытых системах. Волноводный и пучковый подходы к описанию открытых систем. Резонаторы с плоскими зеркалами. Селекция колебаний по поперечным и продольным индексам. Методы селекции продольных колебаний.
    Резонаторы с недиафрагмированными сферическими зеркалами. Интегральное уравнение для полей, структуры типов колебаний. Расходимость иззлучения, выходящего из двухзеркального резонатора. Основные свойства открытых резонаторов со сферическими диафрагмированными зеркалами. Эквивалентные резонаторы. Неустойчивые резонаторы.

V. НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ТЕОРИИ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ВОЛН В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ

    Теория самофокусировки волн как пример квазиоптического подхода. Описание нелинейных свойств cреды. Механизмы нелинейности сред. Описание волн с эллиптической поляризацией. Уравнение для амплитуды и фазы пучка в неоднородной среде. Лучевое уравнение в квазиоптике.
    Необходимое условие самофокусировки волн. Критическая мощность самофокусировки. Однородные волновые пучки и пакеты в нелинейной среде. Самофокусировка гауссовых пучков. Длина самофокусировки. Многофокусная картина.
    Неустойчивость плоских волн в нелинейной среде. Достаточный критерий самофокусировки стационарных пучков.

Лабораторные занятия по курсу (8 семестр, 16 часов).

1. Квазиоптическая модель резонатора "ОКГ на рубине"
2. Открытый резонатор
3. Возбуждение открытого резонатора волновым пучком.

(выполняются 2 из 3 работ)

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Промежуточный контроль: зачет в конце 6-го семестра.

Итоговый контроль: зачет в конце 7-го семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Cухоруков А.П., Теория волн. М.: Наука, 1990, 432 с.
2. Борн M., Вольф Э. Основы оптики. M.: Наука, 1973, 719 с..
3. Маркузе Д. Оптические волноводы. M.: Мир, 1974, 576 с.
4. Джерард А., Берч Дж.М. Введение в матричную оптику. M.: Мир, 1978, 341 с.
5. Кравцов Ю.А., Орлов Ю.И. Геометрическая оптика неоднородных сред. M.: Наука, 1980, 304 с.
6. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. Н. Новгород: ИПФ РАН, 1997, 220 стр.
7. Вайнштейн Л.А. Электромагнитные волны. M.: Радио и связь, 1988, 440 с.
8. Ананьев Ю.А. Оптические резонаторы и проблема расходимости лазерного излучения, M.: Наука, 1979, 328 с.
9. Ваганов Р.Б., Каценеленбаум Б.З. Основы теории дифракции. M.: Наука, 1982, 272 с.

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. Бабич В.М., Булдырев В.С. Асимптотические методы в задачах дифракции коротких волн. М.: Наука, 1972, 456 с.
2. Власов С.Н., Таланов В.И. Метод параболического уравнения в теории распространения волн. Изв. вузов. Радиофизика, 1995, в. 6.

Составитель программы:
академик РАН, профессор В.И. Таланов
Зав. каф. электродинамики,
академик РАН, профессор В.И. Таланов