Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н.Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
курса
"ЧИСЛЕННЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ В ОПТИКЕ"
для направления подготовки дипломированного специалиста
511500 - Радиофизика
и для специальности
013800 - Радиофизика и электроника
Н.Новгород - 2001

1. Организационно-методический раздел

    Программа предназначена для подготовки специалистов по радиофизическим специальностям "Радиофизика и электроника", "Фундаментальная радиофизика и физическая электроника". Курс "Численный эксперимент в оптике" читается в 9 семестре и является разделом, дополняющим курс теоретической физики. Он базируется на знаниях студентов, приобретенных в курсах общей физики, математического анализа, дифференциальных уравнений, численных методов и программирования.
    Курс базируется на теоретических сведениях, полученных студентами из общих курсов программирования и вычислительной математики, электромагнитных волн, спецкурса "Физическая оптика" (раздел: волновые процессы в нелинейных средах). Для усвоения курса "Численный эксперимент в оптике" необходимо также твердое знание основных разделов курсов общей физики, теории волн, математического анализа, высшей алгебры, дифференциальных уравнений, математической физики.
    Целью курса является формирование у студентов навыков использования компьютера для моделирования поведения различных физических систем. При этом основное внимание уделяется важности численного эксперимента в процессе анализа физических механизмов.

В результате изучения курса студенты должны знать:

• принципы построения вычислительной модели физического явления;
• основные методы решения уравнений в частных производных;
• трудности и проблемы, возникающие при постановке и проведении численного эксперимента в условиях ограниченных ресурсов современных компьютеров. Студенты должны уметь:
• построить вычислительную модель простейших физических задач распространения электромагнитного излучения;
• произвести качественный отбор численных методов, пригодных для проведения данного численного эксперимента, применительно к возможностям имеющихся вычислительных средств;
• проанализировать достоинства и недостатки избранной численной методики; составить программу и произвести необходимые в процессе проведения численного эксперимента вычисления на компьютере.

I. Введение

Численный эксперимент; его место в научных исследованиях. Компьютер как средство моделирования. Принципы построения вычислительной модели физического явления. Примеры постановки математических задач в теории волн. Дискретная модель как длинноволновое приближение сплошной среды. Законы сохранения для приближенных уравнений нелинейной оптики; их значение в численном эксперименте. Классификация квазилинейных уравнений в частных производных второго порядка. Основные группы численных методов: вариационные, спектральные, разностные.

II. Вариационные методы реализации численного эксперимента

Математическая постановка задачи минимизации функционала. Метод наименьших квадратов. Энергетический метод. Метод Ритца. Метод Галеркина (проекционный метод). Понятие о методе конечных элементов.

III. Быстрое преобразование Фурье (БПФ) как спектральный метод решения задач вычислительной физики

Конечное дискретное преобразование Фурье и его свойства. Эффект наложения частот. Алгоритм БПФ. БПФ как прямой метод решения уравнений в частных производных. Искажение спектра при использовании конечно-разностных операторов.

IV. Основные понятия метода конечных разностей

Место методов конечных разностей в численном эксперименте: их универсальность и многообразие. Конечно-разностные уравнения. Шаблон на пространственно-временной сетке. Методы составления разностных схем. Способы написания разностных краевых условий. Понятие о погрешности аппроксимации, согласованности, устойчивости и сходимости конечно-разностных методов. Обзор основных методов решения систем разностных уравнений. Метод прогонки.

V. Конечно-разностные схемы для уравнений переноса

Построение консервативных схем методом интегро-интерполяционного баланса. Спектральное исследование устойчивости конечно-разностных схем. Физическая интерпретация критерия устойчивости Куранта-Фридрихса-Леви. Диффузия (аппроксимационная вязкость) и дисперсия пространственных гармоник на разностной сетке. Схема Лакса. Схемы бегущего счета. Нелинейная монотонная схема второго порядка точности. Квазилинейное уравнение переноса; разрывы. Введение математического затухания; квадратичная псевдовязкость. Нелинейные схемы. Возможность обобщения схем на многомерный случай.

VI. Методы конечных разностей для параболических уравнений

Семейство неявных схем свесами для одномерных задач. Схема Кранка-Николсона. Трехслойные схемы: неявная, Ричардсона, Дюфорта-Франкела. Схема бегущего счета. Сравнительная характеристика схем. Построение консервативных схем для задачи с переменными коэффициентами. Наилучшая схема. Квазилинейные уравнения. Алгоритмы решения с линеаризацией. Возможности обобщения схем на многомерные случаи. Схема переменных направлений.

VII. Конечно-разностные методы решения эллиптических уравнений

Прямые методы решения. БПФ. Сведение задачи о стационарном поле к эволюционной для параболического уравнения с произвольными начальными условиями. Итерационные методы как разновидность счета на установление.

VIII. Конечно-разностные схемы для волнового уравнения

Явная схема типа "крест". Неявная девятиточечная схема с весами. Двухслойные акустические схемы для системы двух уравнений первого порядка.

IX. Методы расщепления как универсальный способ решения многомерных эволюционных задач

Понятие о суммарной аппроксимации. Метод расщепления, основанный на неявных схемах первого порядка точности. Метод покомпонентного расщепления на основе схем Кранка-Николсона. Общая формулировка метода расщепления на основе многослойных схем. Методы двуциклического покомпонентного расщепления. Обобщение на случай квазилинейных задач. Методы расщепления с факторизацией операторов. Неявная схема расщепления с приближенной факторизацией. Схемы неполной факторизации. Метод стабилизации. Метод предиктор-корректор. Метод переменных направлений. Метод стабилизирующей поправки. Примеры применения методов расщепления к многомерным гиперболическим уравнениям. Схемы стабилизации и приближенной факторизации для уравнения колебаний. Локально-одномерные схемы. Схемы расщепления для интегро-дифференциального уравнения переноса.

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля

Текущий контроль: работа в терминал-классе по созданию моделирующих программ.

Итоговый контроль: зачет в конце семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса

5.1. Рекомендуемая литература (основная)

1. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. -М.: Наука, 1979.-384с.
2. Сорокин Ю.М. Волновые процессы в нелинейных средах. Учебное пособие.-Горький, изд. ГГУ, 1984.-80 с.
3. Вдовин В.А., Сорокин Ю.М. Согласованное моделирование тепловых процессов в нелинейной оптике. Учебное пособие.-Горький, изд. ГГУ, 1988.-90 с.
4. Поттер Д. Вычислительные методы в физике.-М.: Наука, 1978. -392 с.
5. Калиткин Н.Н. Численные методы.-М.: Наука, 1978.-512 с.
6. Рихтмайер Р.,Мортон К. Разностные методы решения краевых задач.-М.: Мир, 1972.-418 с.
7. Рашаль А.С. Быстрое преобразование Фурье в вычислительной физике (обзор) - ИВУЗ - Радиофизика, т.19, N10, с.1425-1450 (1975).
8. Марчук Г.И. Методы расщепления.-М.: Наука, 1988.

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная)

1. Бахвалов Н.С. и др. Численные методы.-М.: Наука, 1987. 598 с.
2. Митчел Э., Уайт Р. Метод конечных элементов для уравнений в частных производных.-М.:Мир, 1981.
3. Самарский А.А. Введение в численные методы.-М.: Наука, 1987.-286 с.
4. Самарский А.А., Гулин В.А. Численные методы.-М.: Наука, 1989.

Составитель программы:
доцент В.А.Вдовин