Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н.Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
курса
"ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МЕТОДЫ АНАЛИЗА СТОХАСТИЧЕСКИХ СИСТЕМ"
для направления 511500 - Радиофизика
(цикл общепрофессиональных дисциплин магистерской подготовки)
Н.Новгород - 2002

1. Организационно-методический раздел.

    Курс "Функциональные методы анализа стохастических систем" является одним из предлагаемых на выбор курсов "Математического блока" раздела "Вузовский компонент" в учебном плане подготовки магистров радиофизики.
    Цель курса - сформировать у студентов представление о современных математических методах статистического анализа нелинейных стохастических систем - динамических систем со случайными воздействиями аддитивного и мультипликативного характера.
    В процессе изучения дисциплины и подготовки зачетных исследовательских заданий студенты осваивают функциональный аппарат анализа динамических систем со случайными воздействиями различной природы: гауссовыми, телеграфными, марковскими, с безгранично делимыми вероятностными распределениями и др. В математическом плане они знакомятся с понятиями моментной асимптотической устойчивости и устойчивости по вероятности рассматриваемых систем, способами стабилизации первоначально неустойчивых систем, формулами размыкания различных средних от стохастических функционалов, методами построения точных решений с использованием бесконечных цепных дробей, приемами построения различных приближений для отыскания спектрально-корреляционных и вероятностных характеристик систем и оценки условий их применимости. В то же время, курс снабжен большим количеством физических примеров из термодинамики и статистической физики, теории распространения волн в случайно-неоднородных средах, статистической радиофизики и радиотехники, теории колебаний и квантовой механики для того, чтобы студенты научились применять функциональные методы для решения прикладных задач.
    Курс базируется на знаниях студентов, ранее приобретенных в курсах высшей математики, а также в курсах "Методы математической физики", "Теория колебаний", "Статистическая радиофизика", "Теоретические основы радиотехники", "Квантовая механика", "Термодинамика и статистическая физика".

I. ВВЕДЕНИЕ.

    Понятие стохастической системы, физические примеры. Краткий исторический обзор развития функционального подхода к анализу стохастических систем.

II. ЭЛЕМЕТЫ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО АНАЛИЗА И ТЕОРИИ СЛУЧАЙНЫХ ПРОЦЕССОВ.

    Определение функционала, примеры. Простейшие свойства функционалов. Понятие вариационной (функциональной) производной, различные определения. Правила функционального дифференцирования. Примеры вычисления вариационной производной. Высшие вариационные производные. Функциональный ряд Тейлора. Формула сдвига. Восстановление функционала по вариационной производной.
    Основные способы описания случайных процессов: последовательность плотностей вероятности (вероятностный функционал), последовательность характеристических функций (характеристический функционал), последовательности моментных и кумулянтных функций.

III. КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ СТОХАСТИЧЕСКИХ ФУНКЦИОНАЛОВ.

    Понятие стохастического функционала. Формула Фуруцу-Новикова и ее обобщения. Принцип причинности. Формула расцепления корреляции двух функционалов. Вывод формулы дифференцирования функционального среднего для марковского процесса. Размыкание корреляции для дихотомического шума. Применение теории безгранично делимых распределений к выводу корреляционной формулы для негауссова белого шума.

IV. СТАТИСТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГАУССОВЫМИ СЛУЧАЙНЫМИ ВОЗДЕЙСТВИЯМИ.

    Вывод уравнения для вероятностных характеристик броуновского движения в произвольных потенциалах. Неразрывная связь флуктуационных и диссипационных процессов в термодинамике. Соотношение Эйнштейна как пример простейшей ФДТ (флуктуационно-диссипационной теоремы). Вычисление средней интенсивности излучения лазера в стационарном режиме. Стохастические параметрические системы. Моментная неустойчивость и устойчивость по вероятности. Стохастический параметрический резонанс. Вычисление длины экстинкции среднего волнового поля в случайно-неоднородной среде.
    Процедура построения приближенных уравнений для отыскания среднего значения фазовой переменной линейной системы с одним флуктуирующим параметром, имеющим конечное время корреляции. Приближение Бурре для уравнения Дайсона. Условия неустойчивости в среднем системы первого порядка и гармонического осциллятора с флуктуирующей частотой. Способы стабилизации первоначально неустойчивых систем. Эффект Диментберга. Построение точного решения уравнения Дайсона в виде непрерывной дроби.

Итоговый контроль: зачет в конце 10-го семестра в форме отчета по зачетным исследовательским заданиям.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Кляцкин В.И. Статистическое описание динамических систем с флуктуирующими параметрами. М. Наука, 1975.
2. Музычук О.В. Методы анализа стохастических систем. Учебное пособие. Горький. ГГУ, 1978.
3. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения и волны в случайно-неоднородных средах. М. Наука, 1980.
4. Шапиро В.Е., Логинов В.М. Динамические системы при случайных воздействиях: Простые средства анализа. Новосибирск. Наука, 1983.
5. Hanggi P. The Functional Derivative and Its Use in the Description of Noisy Dynamical Systems/ In Proc.Int.Sch."Stochastic Processes Applied to Physics". Eds. L.Pesquera & M.A.Rodrigues, World Sci., 1985, pp.69-95.
6. Hanggi P. Colored Noise in Continuous Dynamical Systems: a Functional Calculus Approach/ In "Noise in Nonlinear Dynamical Systems. V.1. Theory of Continuous Fokker-Planck Systems". Eds. F.Moss, P.V.E.McClintock, Cambridge University Press, 1989, pp.307-328.
7. Hanggi P., Jung P. Colored Noise in Dynamical Systems/ In Proc.Workshop on Nonlinearity: "Noise in Nonlinear Systems"&Adriatico Research Conf. on Randomness, Stochasticity and Noise. Adv.Chem.Phys. V.89. 1995, pp.239-326.
8. Кляцкин В.И. Стохастические уравнения глазами физика (Основные положения, точные результаты и асимптотические приближения). М.: Физматлит, 2001 - 528с.

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. Furutsu K. On the Statistical Theory of Electromagnetic Waves in a Fluctuating Medium (I). J. Res. Nat. Bur. Standards. 1963. V.67D, No.3. p.303.
2. Новиков Е.А. Функционалы и метод случайных сил в теории турбулентности. ЖЭТФ. 1964. Т.47, вып.5(11). С.1919.
3. Дубков А.А., Малахов А.Н. Докл. АН СССР. 1975.
4. Татарский В.И. Распространение волн в турбулентной атмосфере. М. Наука, 1967.
5. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев. Наукова думка, 1968.
6. Хасьминский Р.З. Устойчивость систем дифференциальных уравнений при случайных возмущениях их параметров. М. Наука, 1969.
7. Малахов А.Н. Кумулянтный анализ случайных негауссовых процессов и их преобразований. М. Сов.радио, 1978.
8. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. М. Наука, 1979.
9. Диментберг М.Ф. Нелинейные стохастические задачи механических колебаний. М. Наука, 1980.
10. Кляцкин В.И. Метод погружения в теории распространения волн. М. Наука, 1986.
11. Хорстхемке В., Лефевр Р. Индуцированные шумом переходы: теория и применение в физике, химии и биологии. М.: Мир, 1987 - 397с.
12. Диментберг М.Ф. Случайные процессы в динамических системах с переменными параметрами. М. Наука, 1989.
13. Гурбатов С.Н., Малахов А.Н., Саичев А.И. Нелинейные случайные волны в средах без дисперсии. М. Наука, 1990.
14. Кляцкин В.И., Саичев А.И.// УФН. 1992. Т.162. ? 3, сс.161-194.

Составитель программы:
доцент А.А.Дубков