Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н.Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
спецкурса
"КАЧЕСТВЕННО-ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ ИССЛЕДОВАНИЯ
НЕЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ "
для специальности
071500 - Радиофизика и электроника
для направления подготовки магистров
511500 - "радиофизика"
по специальности 511501 - Нелинейные колебания и волны
Н. Новгород - 2001

1. Организационно-методический раздел.

    Программа предназначена для подготовки бакалавров и магистров радиофизики, а также специалистов по радиофизическим специальностям "Радиофизика и электроника". Спецкурс "Качественно-численные методы исследования нелинейных динамических систем" читается в 9 семестре. Он базируется на знаниях студентов, приобретенных в курсах теории колебаний и волн и численные методы.
    В настоящее время изучение динамических явлений и процессов, возникающих в различных областях естествознания, приводит к исследованию нелинейных математических моделей. В силу нелинейности этих моделей и ограниченных возможностей аналитических и качественных методов такое исследование практически невозможно провести без применения численных методов и привлечения ЭВМ. При этом наибольшего успеха удается достичь, если комбинировать аналитические и численные методы. Такой комбинированный подход называют качественно-численным подходом исследования. Сочетание современных аналитических методов с большими сериями расчетов на ЭВМ, требует разработки адекватных математических моделей и ориентированного на эти модели комплекса эффективных методов, способов, алгоритмов и средств программной поддержки компьютерного эксперимента.
   Цель курса - состоит в изучении подходов, методов и алгоритмов моделирования нелинейных динамических систем, базирующихся на методах качественной теории и теории бифуркации динамических систем.
   Учебные задачи курса. Спецкурс "Качественно-численные методы исследования нелинейных динамических систем" знакомит с современными программными средствами и методами исследования на компьютере математических моделей, представляемых системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Изучение ведется на основе базовых моделей автогенераторных систем с частотным управлением. В качестве характеристик движений моделей используются временные реализации, фазовые портреты и проекции фазовых портретов аттракторов, картины точечного отображения, мультипликаторы периодических движений, ляпуновские характеристические показатели, однопараметрические бифуркационные диаграммы. Формулируются основные задачи динамики, составляющие существо процесса моделирования, разрабатывается схема моделирования. Излагаются практические алгоритмы и подходы решения поставленных задач (алгоритмы поиски составлений равновесия модели, определения их типа и бифуркационных условий; способы построения в пространстве параметров бифуркационных кривых, схемы численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений; способы построения фазовых портретов, сепаратрис седел и точечного отображения Пуанкаре, вычисления мультипликаторов и ляпуновских показателей и т.д.)

Изучение спецкурса позволяет приобрести практические навыки, необходимые для исследования конкретных динамических систем.

• В рамках спецкурса возможно проведение лабораторных работ по построению фазовых портретов, изучению аттракторов и бифуркационных явлений в конкретных динамических системах с использованием программного комплекса "Динамика СФС".

1. Нелинейные динамические системы, их роль при исследовании природных явлений. Основные причины, приведшие к широкому использованию нелинейных моделей в процессе познания. Методы исследования математических моделей: аналитические, численные, качественно численные. Вычислительный эксперимент - его роль при исследовании движений динамических систем, эффективность проведения вычислительного эксперимента. Информационно-инструментальные комплексы. Пакеты прикладных программ и программные инструментарии для исследования нелинейных динамических систем: LINLBF, ASIMPC, BIFOR-1(2), LOOPLN, INTSEP, CYCLE, CYCLT, LCN, LINBAS, LOCBIF, INSITE, Winset (структура, принципы построения, решаемые задачи). Связь пользователя с программными комплексами. Общие принципы построения интерфейса с динамическими системами. - 4 часа.
2. Программный комплекс "Динамика СФС". Общая структурная схема. Принципы построения и компоненты информационной базы. База исследуемых объектов. База исследуемых моделей. База динамических задач. База динамических характеристик. Справочные данные о моделях. Принципы построения и состав программной системы. Программы функционального наполнения. Программы диалоговой поддержки. - 2 часа.
3. Состояния равновесия многомерных нелинейных динамических систем и их бифуркации. Практические алгоритмы изучения состояний равновесия: поиск координат состояний равновесия и определение их типа, вычисление бифуркационных значений параметра и построение бифуркационных кривых, алгоритмы вычисления первой ляпуновской величины. - 4 часа.
4. Исследования нелинейных динамических моделей путем построения проекций фазовых траекторий и временных реализаций. Численные методы интегрирования систем ОДУ (одношаговые, многошаговые, жестких систем), основные принципы построения программ численного интегрирования. Особенности представления фазовых траекторий динамических систем с цилиндрическим и тороидальным фазовыми пространствами. Технология исследования нелинейных динамических моделей путем численного построения проекций фазовых траекторий и временных реализаций - 6 часа.
5. Гомоклинические и гетероклинические бифуркации динамических систем. Структура фазового и параметрического пространства в окрестности бифуркационных кривых, соответствующих гомоклиническим и гетероклиническим траекториям. Алгоритм построения бифуркационных кривых, соответствующих совпадению сепаратрис седловых состояний равновесия многомерных динамических систем. - 4 часа.
6. Метод отображений Пуанкаре, его роль при изучении непрерывных динамических систем. Алгоритмы численного построения отображения Пуанкаре, особенности построения для систем с циклическими координатами. Технология исследования динамических систем путем численного построения отображения Пуанкаре. - 4 часа.
7. Периодические движения многомерных динамических систем и их бифуркации. Практические алгоритмы изучения периодических движений: алгоритмы поиска предельных циклов (методы простой итерации, секущих, Ньютона, сеток) и определения их типа, принципы построения бифуркационных кривых. Технология исследования динамических систем путем изучения периодических движений. - 4 часа.
8. Странные аттракторы. Способы и алгоритмы идентификации странных аттракторов в численном эксперименте. Бифуркационные механизмы перехода к хаосу и метод идентификации их в численном эксперименте. Методы и подходы выделения областей параметров, соответствующих хаотическому поведению динамической системы - 4 часа.
9. Динамика конкретных динамических систем: генератор Чуа, система частотной автоподстройки, система фазовой синхронизации (СФС) с фильтром второго порядка, двухпетлевая СФС, каскадное соединение двух СФС - 8 часов.

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Итоговый контроль: экзамен в конце 9-го семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Анищенко В.С. Сложные колебания в простых системах. - М.: Наука, 1990. -312с.
2. Анищенко В.С., Т.Е. Вадивасова, В.В. Астахов. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы / Под ред. В.С. Анищенко - Саратов: Изд-во Сарат. Ун-та, 1990. -368с.
3. Неймарк Ю.И., Ланда П.С. Стохастические и хаотические колебания. - М.: Наука, 1987. -423с.
4. Паркер Т.С., Чуа Л.О. Введение в торию хаотических систем для инженеров. INSITE -программный инструментарий для анализа нелинейных динамических систем // ТИИЭР, Т.75, N8.
5. Шуп Т. Решение инженерных задач на ЭВМ: Практическое руководство. Пер. с англ. - М.: Мир, 1982 -238с.
6. Пономаренко В.П., Матросов В.В. Моделирование динамических процессов в автогенераторных системах с частотным управлением: Учебное пособие. -Н. Новгород. ННГУ. 1997. 114с.
7. Матросов В.В. Шалфеев В.Д., Сергеев О.С. Генератор хаотических колебаний Специальный практикум по радиофизике и электронике. Н. Новгород. Изд-во ННГУ, 2001

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. Баутин Н.Н. Поведение динамических систем вблизи границы области устойчивости. - М.: Наука, 1984. -176с.
2. Линдсей В. Системы синхронизации в связи и управлении / Пер. С англ. Под ред. Ю.Н. Бакаева и М.В. Капранова, - М.: Советское радио, 1978, 600с.
3. Пономаренко В.П., Заулин И.А., Заулин, Шалфеев В.Д. Динамика систем синхронизации сложных сигналов: Учебное пособие. - Горький. ГГУ. 1987. 80с.
4. Берже П., Помо И., Видаль К. Порядок в хаосе. О детерминированном
5. Мун Ф. Хаотические колебания. Вводный курс для научных работников и инженеров. Пер. с англ. - М.: Мир, 1990. -312с.
6. Шустер Г. Детерминированный хаос. Введение. Пер. с англ. - М.: Мир, 1988. -240с.
7. В.П. Пономаренко, В.В. Матросов. Нелинейные колебания во взаимодействующих системах фазовой синхронизации. Учебно-методическая разработка. - Н. Новгород. ННГУ. 1998.
8. В.П. Пономаренко, В.В. Матросов Автоматизация исследований нелинейной динамики систем синхронизации Вестник Верхневолжского отделения Академии технологических наук Российской Федерации. Высокие технологии в радиоэлектронике. Выпуск 2(4), Н. Новгород, 1997, С.15-21.

Составитель программы:
доцент В.В.Матросов