Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н. Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
курса
"ВОЛНЫ В НЕЛИНЕЙНЫХ СРЕДАХ"
для направления 511500 - Радиофизика
(цикл общепрофессиональных дисциплин)
Н.Новгород - 2001

1. Организационно-методический раздел.

    Программа предназначена для подготовки магистров по направлению "Радиофизика". Курс "Волны в нелинейных средах" читается в 9 семестре и является одним из завершающих разделов общетеоретической подготовки магистрантов.
    Целью курса является ознакомление студентов магистратуры с широким кругом нелинейных явлений в электродинамике (в ферритах, диэлектриках, активных средах и плазме), гидродинамике, химии и некоторых других областях науки и техники, а также с методами их описания.

В процессе изучения курса студенты должны освоить:

• основы нелинейной оптики;
• современные методы отыскания солитонных решений широкого класса нелинейных уравнений в частных производных;
• основы математического аппарата для отыскания точных многосолитонных решений нелинейных уравнений в частных производных (преобразования Бэклунда, Миуры и Хопфа-Хироты, метод обратной теории рассеяния).

2. Содержание курса.

I. ВВЕДЕНИЕ.

    Основные свойства линейных и нелинейных сред. Диспергирующие и поглощающие среды. Физическая природа нелинейности, дисперсии и поглощения в электродинамике. Соотношения Крамерса-Кронига. Закономерности образования гармоник в нелинейной среде с дисперсией.

II. НЕЛИНЕЙНАЯ ОПТИКА.

2.1. Трехчастотные взаимодействия в квадратичной среде.
2.1.1. Условия трехчастотного взаимодействия волн в квадратичной среде. Дисперсия и синхронизм. Описание трехволновых взаимодействий. Законы сохранения в среде без потерь. Соотношения Менли-Роу.
2.1.2. Генерация второй гармоники. Взаимодействие волн в непоглощающей среде при точном синхронизме. Учет расстройки синхронизма. Влияние линейных потерь.
2.1.3. Параметрические процессы в квадратичной среде. Параметрическое преобразование частоты вниз при высокочастотной накачке. Эффективность преобразования частоты вверх и вниз.
2.2. Четырехчастотные взаимодействия в кубичной среде.
2.2.1. Условия четырехчастотного взаимодействия. Основные уравнения че-тырехволнового взаимодействия. Первые интегралы уравнений в отсутствие диссипации (соотношения Менли-Роу).
2.2.2. Генерация третьей гармоники в непоглощающей среде. Влияние эффекта Керра на коэффициент преобразования в третью гармонику.
2.3. Взаимодействие волн при вынужденном комбинационном рассеянии света (ВКР).
2.3.1.Физическая природа ВКР. Стоксово излучение. Основные уравнения процесса ВКР. Законы сохранения в отсутствие диссипации. Порог генерации. Вынужденное комбинационное рассеяние вперед.
Преобразование энергии накачки в волну стоксова излучения при ВКР назад.
2.3.2. Антистоксово излучение.
2.4. Взаимодействие волн электромагнитного поля и звука при вынужденном рассеянии Мандельштама-Бриллюэна (ВРМБ).
2.4.1. Физическая природа ВРМБ. Основные уравнения ВРМБ.
2.4.2. Усиление стоксова излучения - трехчастотное взаимодействие. Порог возбуждения. Законы сохранения в непоглощающей среде. Стоксово рассеяние вперед.
2.4.3. Усиление стоксова излучения назад при ВРМБ. Основные уравнения. Законы сохранения. Расчет излучаемой мощности. Приближение заданного поля накачки.
2.5.Пучки в нелинейной оптике (параметрическое приближение).
2.5.1. Преобразование частот в волновых пучках в квадратичной среде. Основные уравнения. Взаимодействие двух усиливаемых пучков при постоянной высокочастотной накачке. Уравнения одноволнового приближения. Дифракция усиливаемых волн и эффект аномальной фокусировки. Параметрическая диффузия.
2.5.2. Обращение волнового фронта (ОВФ) при четырехволновом взаимодействии (ЧВ) в кубичной среде.
2.5.3. ОВФ при ВКР.
2.5.4. ОВФ при ВРМБ.

III. СОЛИТОНЫ - НОВОЕ ПОНЯТИЕ В ПРИКЛАДНЫХ НАУКАХ.

Введение. Ретроспектива изменения понятия об уединенной волне.
3.1. Солитонное решение уравнения Кортевега и де Вриза (КДВ). Использование уравнения КДВ в физике. Основные свойства уравнения КДВ. Стационарные решения уравнения КДВ - кноидальные волны. Фазовая плоскость стационарных волн. Солитонное решение уравнения КДВ: амплитуда, скорость распространения, длительность.
3.2. Солитонное решение уравнения СГ (Синус-Гордон). Использование уравнения СГ в физике. Основные свойства уравнения СГ. Солитонное решение уравнения СГ и его основные свойства. Стационарные решения уравнения СГ - осциллирующие и спиральные волны. Фазовая плоскость стационарных волн.
3.3. Солитонное решение нелинейного уравнения Шредингера (НУШ). Использование НУШ в физике. Основные свойства НУШ. Солитонное решение НУШ и его основные свойства. Стационарное решение НУШ. Фазовая плоскость стационарных волн.
3.4. Самоиндуцированная прозрачность двухуровневой поглощающей среды. Уравнения, описывающие взаимодействие излучения с резонансной средой. Уравнения для медленных амплитуд, описывающие распространение коротких импульсов в резонансной среде. Основные свойства укороченных уравнений и их солитонное решение для поля на резонансной частоте. Свойства солитонного решения.
3.5. Стационарные световые импульсы в усиливающей резонансной среде при наличии линейного поглощения. Уравнения баланса для медленных амплитуд, описывающие усиление короткого импульса в активной резонансной среде. Солитонное решение уравнений баланса в активной среде. Основные свойства солитонного решения.
3.6. Двухмерные стационарные электромагнитные пучки в активной двухуровневой среде. Условия канализации светового пучка в резонансной среде с неоднородным распределением инверсии и неоднородным линейным поглощением. Свойства нелинейного волновода в однородно уширенной резонансной среде с однородным распределением инверсии и неоднородным линейным поглощением.
3.7. Отыскание многосолитонных решений нелинейных уравнений методом обратной задачи рассеяния (ОЗР). Решение стационарного уравнения Шредингера и определение спектральных данных о его потенциале. Обратная спектральная задача - решение уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко. Постановка ОЗР на примере уравнения КДВ. Эволюция спектральных данных во времени. Примеры расчетов коэффициентов рассеяния и их эволюционного изменения, а также решений уравнений ГМЛ и нахождения многосолитонных решений уравнения КДВ. Понятие об LA-паре линейных операторов. Альтернативная версия ОЗР. LA-пары операторов уравнений КДВ и НУШ.
3.8. Отыскание многосолитонных решений нелинейных уравнений с помощью автопреобразования Бэклунда. Преобразования Беклунда. Автопреобразование Бэклунда и постановка задачи об отыскании полииерархической системы уравнений. Диаграмма Лэмба. Автопреобразование Беклунда и многосолитонные решения уравнения СГ. Автопреобразование Беклунда для уравнения КДВ.
3.9. Обзор других методов отыскания точных решений.
3.9.1. Преобразование Хопфа-Хироты.
3.9.2. Преобразование Миуры и законы сохранения.
3.9.3. Метод вариации параметров стационарных волн.

Лабораторные занятия по курсу (9 семестр, 34 часа).

1. Метод нелинейной коррекции световых полей.

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Итоговый контроль: экзамен (зачет) в конце 9-го семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Колоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и солитоны. М.: Мир, 1985, 469 с.
2. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Сов. радио, 1977, 368 с.
3. Бломберген Н. Нелинейная оптика. М.: Мир, 1966, с. 5-28.
4. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с.
5. Виноградова М.В., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1990, 432 с.
6. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, 175 с.

Составитель программы:
доцент Н.Д. Миловский

Зав. каф. электродинамики,
академик РАН, профессор В.И. Таланов