МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ
РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
Нижегородский государственный университет
им. Н.И. Лобачевского 

"УТВЕРЖДАЮ"
декан радиофизического фак-та
профессор ___________С.Н. Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
специального курса
"ВВЕДЕНИЕ В СОВРЕМЕННЫЕ МЕТОДЫ
ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ"
для специальностей
071500 - Радиофизика и электроника
и направление подготовки бакалавров
511500 "Радиофизика"
Н. Новгород 2001

1. Организационно-методический раздел.

Учебные цели курса.

    Фундаментальная подготовка студентов, специализирующихся на кафедре теории колебаний , включает в себя изучение трех методических дисциплин: аналитических, качественных и численных методов теории нелинейных колебаний и волн. Настоящий спецкурс посвящен тематике первой из них. Его цель - расширение и углубление знаний в области современных аналитических методов нелинейной теории и, в первую очередь, тех из них, которые базируются на каноническом аппарате (лагранжевом и гамильтоновом формализмах) аналитической механики и классической теории поля.
    С этим аппаратом связаны современные достижения в решении одной из центральных задач теории - обобщенного описания нелинейных колебательно-волновых систем. Вместе с тем, этот аппарат является основой успешного решения и собственно методических проблем - математического обоснования асимтотических методов и повышения эффективности расчетных алгоритмов.

Учебные задачи курса.

    В содержании спецкурса можно выделить три составных части.
    Первая - вводная - содержит сведения из теории асимптотических разложений, включая понятие их неравномерности, которое является одним из центральных для методических приложений. На этой основе проводится сравнительный анализ классических асимптотических методов нелинейной механики, характеризуемых в зависимости от способа устранения неравномерности используемых в них асимптотических разложений.
    Вторая и третья части спецкурса посвящены методике исследования соответственно сосредоточенных и распределенных нелинейных систем, допускающих описание на языке лагранжева или гамильтонова формализмов.
    Вторая часть содержит теорию гамильтоновых систем, близких к интегрируемым, и знакомит с канонической теорией возмущений и ее современным развитием, базирующемся на методе преобразований Ли.
    Третья часть спецкурса тройственна по структуре и образует триединство - модели, методы, задачи. Обсуждаемая здесь обобщенная модель распределенных систем следует из вариационной (теоретико-полевой) формулировки уравнений динамики среды, и задача такой формулировки рассматривается на примере уравнений идеальной сжимаемой жидкости с учетом ее стратификации, пространственной ограниченности и вращения.
    При таком подходе метод исследования двояк и зависит от того, какой использован формализм. В спецкурсе излагаются обе разновидности метода - усредненный вариационный принцип для лагранжевых систем и метод нормальных координат для гамильтоновых систем.
    Материал спецкурса завершает разбор ряда эталонных задач, иллюстрирующих ключевые положения метода нормальных переменных.

Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса.

1. Математический анализ (отношения порядка).
2. Теоретическая механика (лагранжев и гамильтонов формализмы в теории точечных систем и поля).
3. Механика сплошных сред (описание динамики идеальной жидкости на языке Лагранжа и Эйлера).
4. Термодинамика (уравнения состояния, изэнтропические модели).
5. Теория колебаний и волн (слабонелинейное взаимодействие волн).

2. Содержание спецкурса.

1. Введение в предмет и структура курса. Асимптотические последовательности и разложения. Единственность и неравномерность асимптотических разложений
2. Сранительный обзор традиционных асимптотических методов построения приближенных решений нелинейных дифференциальных уравнений, включая методику Линдштедта-Пуанкаре, метод перенормировки, метод многомасштабных разложений и метод усреднения Ван-дер-Поля . Недостатки метода Ван-дер-Поля и их преодоление в обобщенном методе усреднения. Метод усреднения Крылова-Боголюбова-Митропольского
3. Класс гамильтоновых систем, близких к интегрируемым и каноническая теория возмущений. Метод преобразований Ли.
4. Резонансная теория возмущений. Понятие сверхсходимости и метод Колмогорова. Теорема КАМ (Колмогорова, Арнольда, Мозера).
5. Вариационный подход к построению общей теории волн в нелинейных средах. Лагранжевский и гамильтоновский формализмы.
6. Принцип Гамильтона в динамике жидкости. Лагранжев формализм для случаев лагранжева и эйлерова описаний жидкости.
7. Канонические уравнения в механике жидкости.
8. Поверхностные и внутренние гравитационные волны в пространственно- ограниченной стратифицированной жидкости. Волны Россби во вращающейся жидкости.
9. Нормальные канонические уравнения поля. Канонические преобразования.
10. Усредненный вариационный принцип.
11. Гамильтоново описание слабонелинейного взаимодействия волн. Понятие о стандартных волновых гамильтонианах нелинейных сред.

12. Неустойчивость стационарных волн малой амплитуды. Распадная и модуляционная неустойчивости и эффекты их конкуренции при ВЧ и НЧ взаимодействиях.

Тематический указатель литературы.

Тема I. [3], глава 1.

Тема II. [3], главы 4, 7.

Тема III. [4], пар.1.2; 2.1; 2.2; 2.5.

Тема IV. [4], пар.2.6; 3.2а.

Тема V. [1],пар.1.

Тема VI. [1], пар.2; 5, разд. 2.

Тема VII. [1], пар.3.

Тема VIII.[1], пар.4, 5; 2, разделы 1,2.

Тема IX. [1], пар.6, 7; 6; 2, разд. 3.

Тема X. [7], приложение А.

Тема XI. [1], пар.8.

Тема XII. [6,8].

 4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Итоговый контроль: зачет в конце 8-го семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. В.В.Петров. Прикладные главы гидрофизики. Уч. пособие. Горький, 1988.
2. Найфэ А. Введение в методы возмущений. -М.: Мир, 1984.

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. В.В.Петров. Динамика волн в нелинейных гидродинамических системах. Уч. пособие. Горький, 1984.
2. Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динамика. -М.: Мир, 1984.
3. Селинджер Р.Л., Уитем Г.Б. Вариационные принципы в механике сплошной среды. В сб. переводов "Механика" , 1969, т. 117.
4. Захаров В.Е. Гамильтоновский формализм для волн в нелинейных средах с дисперсией. Радиофизика, 1974, т.17, ? 4, с.431, Изв. ВУЗов.
5. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. -М.: Наука, 1973.
6. В.В.Петров. Взаимодействие внутренних волн и мелкомасштабной поверхностной турбулентности в океане. Изв. АН СССР, ФАО, 1979, т.15, N 7, с. 740.

Составитель программы:
доцент В.В.Петров