Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н. Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
спецкурса
"НЕЛИНЕЙНАЯ ДИНАМИКА ВОЛН В ВИХРЕВЫХ ТЕЧЕНИЯХ"
для специальности
071500 - Радиофизика и электроника
для направления подготовки магистров
511500 - "радиофизика"
по специальности 511501 - Нелинейные колебания и волны
Новгород - 2001

1. Организационно-методический раздел.

    Программа предназначена для подготовки бакалавров и магистров радиофизики, а также специалистов по радиофизической специальности "Теория колебаний". Спецкурс "Нелинейная динамика волн в вихревых течениях" читается в 9 семестре и может рассматриваться как продолжение общего курса теории колебаний и волн. Он базируется на знаниях студентов, приобретенных в курсах теории колебаний, механики сплошных сред, математической физики и теории дифференциальных уравнений.
    Известно, что волновые движения в нелинейных средах различной природы часто оказываются похожими с наиболее характерной для радиофизики колебательно-волновой точки зрения. В этом отношении весьма показательным примером могут служить гидродинамические волны, возбуждаемые в результате развития неустойчивости в вихревых течениях. Организация вихревого движения, когда элементарные вихревые образования движутся в созданном ими поле скорости, очевидно, сходна с организацией движения системы заряженных частиц. Для волн в вихревых течениях в полной мере характерны такие понятия как дисперсия, неустойчивость, дискретный и непрерывный спектры, резонансное взаимодействие и конкуренция, резонансное взаимодействие волна-частица, которые широко используются также в электронике, физике газоразрядной и полупроводниковой плазмы, акустике движущихся сред. Ряд проблем динамики волн в вихревых течениях (нелинейный флаттер пластин в потоке, самосогласованное движение системы точечных вихрей и др.) приводят к математическим моделям, анализ которых связан с использованием понятий общей теории динамических систем (квазипериодичность, хаотический аттрактор, символическая динамика и др.). Поэтому ознакомление студентов достижениями в области нелинейной динамики волн в вихревых течениях представляется полезным для освоения ими "колебательно-волнового" языка и новых методов исследования нелинейных волновых систем.

Цель спецкурса -

cформировать у студентов представление о современным состоянии теории нелинейных волн в вихревых течениях, способствовать освоению ими "колебательно-волнового" языка и новых методов исследования нелинейных волновых систем.

В процессе изучения курса студенты должны освоить:

• построение системы нормальных волн и основные типы неустойчивостей в вихревых течениях, физические механизмы возникновения неустойчивостей;
• принципы качественного предсказания нелинейной стадии развития неустойчивостей в вихревых течениях;
• методы исследования линейных и нелинейных волн в вихревых течениях (метод многих масштабов, метод сращиваемых асимптотических разложений, метод Бубнова-Галеркина);
• слабонелинейные модели, основанные на использовании теории слабо связанных волн (взрывная неустойчивость, уравнение Гинзбурга-Ландау);
• простейшие нелинейные модели, демонстрирующие возникновение сложной динамики в вихревых течениях (хаотизация в системе точечных вихрей, хаотический флаттер панелей в сверхзвуковом потоке);
• нелинейные модели, описывающие эффекты сильной нелинейности (сворачивание вихревой пелены, резонансное взаимодействие "волна-частица").

1. Введение. Уравнения гидродинамики. Завихренность и вихревые течения.
2. Неустойчивость и нелинейная динамика вихревой пелены. Неустойчивость течения с тангенциальным разрывом скорости (вихревой пелены) в однородной несжимаемой жидкости. Вихревая трактовка механизма неустойчивости и качественное описание нелинейной стадии ее развития. Система уравнений для формы профиля и интенсивности пелены. Автомодельное решение в виде сворачивающейся вихревой спирали.
3. Вихревая дорожка за цилиндром как пример возникновения автоколебаний в гидродинамическом потоке. Отрыв пограничного слоя и сход вихревой пелены в поток. Хорошо обтекаемые и плохо обтекаемые тела. Теория дорожки за цилиндром, состоящей из двух рядов точечных вихрей. Число Струхаля и вычисление циркуляции в вихрях. Соответствие свойств дорожки определению автоколебаний.
4. Свободный слой сдвига скорости в потоке однородной жидкости. Исследование неустойчивости в рамках кусочно-линейной аппроксимации профиля скорости (алгебраический метод Рэлея). Качественное рассмотрение нелинейной стадии развития неустойчивости. Течение типа "кошачьи глаза" Кельвина и фазовый портрет системы уравнений для координат жидких частиц. Структуризация сдвигового слоя. Течение типа "кошачьи глаза" Кельвина-Стьюарта как пример цепочки вихрей конечного размера.
5. Нелинейная динамика системы точечных вихрей.. Вывод системы уравнений для координат произвольного числа точечных (линейных) вихрей. Интегралы движения. Динамика вихревой пары и интегрируемость задачи о трех вихрях. Топологические конфигурации и хаотическая динамика четырех вихрей. Моделирование турбулентного поля скорости с помощью системы точечных вихрей.
6. Нелинейный флаттер пластин в сверхзвуковом потенциальном потоке. Излучательная неустойчивость бесконечной гибкой пластины и интерпретация ее механизма на языке волн отрицательной энергии. Обтекание пластины конечного размера; метод Бубнова-Галеркина. Двухмодовая модель колебаний пластины. Регулярные и хаотические режимы нелинейного флаттера.
7. Генерация нелинейных гидроупругих волн. Квазистатическая неустойчивость (дивергенция) при потенциальном обтекании упругих покрытий несжимаемым потоком. Вывод уравнений резонансного взаимодействия кратных гармоник нелинейной волны. Взрывная неустойчивость кратных гармоник и жесткое возбуждение нелинейных волн.
8. Неустойчивость и собственные волны в вихревых течениях однородной несжимаемой жидкости. Течения идеальной жидкости. Уравнение Рэлея и теорема Рэлея о точке перегиба. Неустойчивость свободного слоя сдвига и струи с гладким профилем скорости. Постановка задачи с начальными условиями. Резонансная неустойчивость при взаимодействии потоков с изгибными волнами на пластине и гравитационно-капиллярными волнами на воде. Особая точка и поведение поля волны в ее окрестности. Вихревая цепочка в критическом слое и механизм резонансной неустойчивости. Волны сплошного спектра и "неустойчивость без собственных значений". Течения вязкой жидкости. Уравнение Орра-Зоммерфельда. Обход особенности при больших числах Рейнольдса. Метод сращиваемых асимптотических разложений. Поведение волнового поля у стенки; вязкий пристеночный слой. Результаты численного решения задачи на собственные значения для пограничного слоя у жесткой стенки. Нейтральная кривая течения в пограничном слое и начальная стадия перехода от ламинарного течения к турбулентному.
9. Нелинейное взаимодействие волн и генерация узких волновых пакетов в сдвиговых течениях. Вывод уравнений для комплексных амплитуд взаимодействующих волн. Сопряженная краевая задача. Двумерные и трехмерные (косые) волны в пограничном слое. Взрывная неустойчивость волновых триплетов в пограничном слое и образование подковообразных вихрей в области ламинарно-турбулентного перехода. Уравнение Ландау и Гинзбурга-Ландау для вихревых течений. Закритическая и докритическая неустойчивость.
10. Нелинейное резонансное взаимодействие волна-частица в сдвиговых течениях. Нелинейный критический слой и иерархия его масштабов. Система уравнений для амплитуды волны и завихренности в критическом слое. Механизм стабилизации резонансной неустойчивости Майлса-Ландау. Аналогия с задачей о нелинейном затухании Ландау плазменных волн.
11. Приложения в геофизической гидродинамике. Идеальное стратифицированное течение, уравнение Тейлора-Голдстейна. Условие устойчивости. Излучательная неустойчивость и генерация нелинейных внутренних гравитационных волн в течении с тангенциальным разрывом скорости. Трехслойная модель стратифицированного течения в атмосфере и взрывная неустойчивость при взаимодействии волн отрицательной и положительной энергии. Баротропные крупномасштабные волны в зональных течениях. Модель бета-плоскости для волновых движений в океане и атмосфере. Уравнение Рэлея-Го и условие неустойчивости идеального течения на бета-плоскости. Эффект донного трения. Уравнение Гинзбурга-Ландау и конкуренция мод в кольцевом течении. Лабораторное моделирование неустойчивости кольцевого течения в атмосфере.

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Текущий контроль: проверка посещаемости лекций

Итоговый контроль: экзамен в конце 9-го семестра для студентов 5-го курса, зачет в конце 9-го семестра для магистров.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Бетчелор .Дж. К. Введение в динамику жидкости. М.: Мир, 1976.
2. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1986.
3. Блохинцев Д.И. Акустика неоднородной движущейся среды. М.: Наука, 1981.
4. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1969
5. Педлоски Дж. Геофизическая гидродинамика. М.: Мир, 1984. 811С.
6. Госсард Э., Хук У. Волны в атмосфере. М.: Мир, 1978.
7. Дикий Л.А. Гидродинамическая устойчивость и динамика атмосферы. Л.: Гидрометеоидат, 1976.
8. Бетчов Р. Криминалле В. Вопросы гидродинамической устойчивости. М.: Мир, 1971.
9. Степаньянц Ю.А., Фабрикант А.Л. Распространение волн в сдвиговых потоках. М.: Наука, 1996.
10. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука., 1984.
11. Гидродинамические неустойчивости и переход к турбулентности. (Под ред. Дж. Голлаба и Х. Суинни). М.: Мир, 1984.
12. Рабинович М.И., Сущик М.М. Регулярная и хаотическая динамика структур в течениях жидкости. В журн. "Успехи физических наук". 1990. Т.160. N 1, с.3-64.
13. Гольдштик М.А., Штерн В.Н. Гидродинамическая устойчивость и турбулентность. Новосибирск: Наука. 1977. 366 С.
14. Жигулев В.Н., Тумин А.М. Возникновение турбулентности. Новосибирск: Наука, 1987. 279 С.
15. Монин А.С., Яглом А.М. Статистическая гидромеханика. Т. 1. С.-Петербург: Гидрометеоиздат, 1992.
16. Качанов Ю.С., Козлов В.В., Левченко В.Я. Возникновение турбулентности в пограничном слое. Новосибирск: Наука, 1982. 152 С.
17. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: задачи гидроупругости. М.: Наука, 1979.

5.2 Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. Линь Цзя-Цзяо. Теория гидродинамической устойчивости. М.: ИЛ, 1958.
2. Кочин Н.Е., Кебель И.А., Розе Н.В. Теоретическая гидромеханика. Т.1,2. М.: Физматгиз, 1963.
3. Drazin P.G., Reed W.H. Hydrodynamic Stability. Cambridge Univ. Press, 1981.
4. Craik A.D.D. Wave Interactions and Fluid Flows. Cambridge Univ. Press. 1985.
5. Кельберт М.Я., Сазонов И.А. Распространение импульсов в жидкостях. М.: Наука, 1991.
6. Должанский Ф.В., Крымов В.А., Манин Д.Ю. Устойчивость и вихревые структуры квазидвумерных сдвиговых течений // Успехи физических наук. 1990. Т. 160. N7. С.1-47.
7. Новиков Е.А., Седов Ю.Б. Стохастические свойства системы четырех вихрей // ЖЭТФ. 1978. Т. 75. N 3(9). С.868-876.
8. Реутов В.П. Плазменно-гидродинамическая аналогия и нелинейная стадия неустойчивости ветровых волн. // Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1980. Т.16. N 12. С.1266-1275.
9. Реутов В.П., Рыбушкина Г.В. Генерация нелинейных волн на вязко-упругом покрытии в турбулентном пограничном слое // ПМТФ. 2000. Т.41. N 6. С.50-59.
10. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces. Pt.1 Tollmien-Schlichting instabilities // J. Fluid Mech. 1986. V.170. P. 199-231.
11. Carpenter P.W., Garrad A.D. The hydrodynamic stability of flow over Kramer-type compliant surfaces. Pt.2 Flow-induced surface instabilities // J. Fluid Mech. 1986. V.170. P. 199-231.
12. Сущик М.М. Динамика когерентных структур в сдвиговых течениях. В кн. Нелинейные волны. Структуры и бифуркации. (Ред. А.В. Гапонов-Грехов, М.И. Рабинович). М.: Наука, 1987. С.104-132.
13. Садовский В.С., Таганов Г.И., Дудоладов И.В. Математическое моделирование нестационарных вихревых структур в турбулентных сдвиговых течениях // Численные методы механики сплошной среды. 1983. Т.14. N6. С.145-159. (Издание ВЦ ИТПМ, Новосибирск).
14. Dowell E.H. Flutter of a buckled plate as an example of chaotic motion of deterministic autonomous system // J. Sound and Vibrations. 1982. V.85. N3. P.333-344.

Составитель программы:
Ведущий научный сотрудник ИПФ РАН, доктор физ.-мат. наук В.П.Реутов