Министерство образования Российской Федерации
Нижегородский государственный университет им. Н.И. Лобачевского

"УТВЕРЖДАЮ"
Декан радиофизического факультета
профессор ___________ С.Н. Гурбатов

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
спецкурса
"НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ДИСКРЕТНЫХ СРЕДАХ"
для специальности
071500 - Радиофизика и электроника
для направления подготовки магистров
511500 - "радиофизика"
по специальности 511501 - Нелинейные колебания и волны
Н. Новгород - 2001

 1. Организационно-методический раздел.

    Настоящий спецкурс предназначен для подготовки бакалавров и магистров радиофизики, а также специалистов по радиофизическим специальностям "Радиофизика и электроника", "Фундаментальная радиофизика и физическая электроника". Спецкурс читается в 9-ом семестре и является одним из дополнительных разделов теории нелинейных колебаний и волн. Материал спецкурса требует от студентов хорошего знания курсов общей физики, математического анализа, дифференциальных уравнений, теории колебаний и волн.
    Спецкурс посвящен изучению нелинейных волновых процессов в дискретных распределенных средах - активных решеточных системах. Он охватывает современные представления о формировании и эволюции волн в нелинейных, методах их исследования и перспективах использования.
    Целью спецкурса является расширение и углубление знаний в области динамики нелинейных волн в неравновесных средах, введение в современную теорию решеточных систем, освоение методов исследования волновых процессов в дискретных средах с использованием качественной теории нелинейных колебаний и волн и компьютерного моделирования.

В процессе изучения спецкурса студенты должны освоить:

• основные методы исследования стационарных волн в активных нелинейных средах;
• основные приложения теории бифуркаций к исследованию нелинейных волн;
• особенности распространения волн в дискретных средах - цепочках взаимосвязанных активных элементов;
• основы компьютерного моделирования решеточных систем.

2. Содержание курса.

I. ВВЕДЕНИЕ.

Нелинейные волны в неравновесных средах. Дискретные среды - сети взаимодействующих нелинейных элементов. Архитектура сетей: цепочки, решетки, многослойные системы. Системы "реакция-диффузия". Примеры нелинейных волн в непрерывных и дискретных средах.

II. ВОЛНОВЫЕ ФРОНТЫ В ЦЕПОЧКЕ БИСТАБИЛЬНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

Модель. Динамика локального элемента цепочки. Общие свойства модели. Провал распространения волн в цепочке. Метод поглощающих областей. Состояния равновесия системы - пространственные структуры. Область провала распространения. Распространение волновых фронтов. Стационарные волны. Длинноволновая аппроксимация. Система для бегущих волн. Основные свойства. Сепаратрисные связки. Функция расщепления. Построение стационарных волн по профилю гетероклинической траектории. Обсуждение длинноволновой аппроксимации. Устойчивость волновых фронтов. Эволюционная устойчивость. Устойчивость пространственно-однородных состояний. Расчет определителей диагонального типа. Полиномы Чебышева-Эрмита. Спектр Ляпуновских показателей. Области распространения и провала волновых фронтов. Качественная интерпретация волнового фронта. Волновой фронт при слабых связях. Локальная модель. Оценка области распространения волновых фронтов. Основные выводы.

III. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЦЕПОЧКЕ ВОЗБУДИМЫХ ЭЛЕМЕНТОВ.

Модель. Система ФитцХью-Нагумо - простейшая модель нейрона. Распространение нервных импульсов в аксонах нервных клеток. Динамика локального элемента. Состояния равновесия. Построение фазового портрета методом быстрых и медленных движений. Различные режимы функционирования элемента. Свойство возбудимости. Порог возбуждения. Стационарные волны в цепочке ФитцХью-Нагумо. Система для бегущих волн. Состояния равновесия системы для бегущих волн. Гомоклинические траектории - стационарные импульсы возбуждения. Расчет интегральных многообразий состояния равновесия. Расчет гомоклинических бифуркаций в системе для бегущих волн. Методы расчета. Секущая поверхность. Функция расщепления. Рекомендации по численным алгоритмам расчета. Бифуркационная диаграмма. Устойчивость бегущих импульсов в цепочке ФитцХью-Нагумо. Класс начальных возмущений эволюционной устойчивости. Устойчивость пространственно-однородного состояния. Расчет характеристического определителя блочного типа. Спектр собственных чисел. Бегущие волны при слабых связях. Локальная модель. Условия передачи возбуждения между элементами. Провал распространения волн в дискретных системах возбудимого типа. Другие волновые решения в цепочке ФитцХью-Нагумо. Основные выводы.

IV. НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ В ЦЕПОЧКЕ ЭЛЕКТРОННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ.

Моделирование процессов в нейробиологических системах с помощью электронных сетей СNN. Модель. Уравнения Кирхгоффа. Переход к безразмерным переменным. Цепочка как трехкомпонентная система типа "реакция-диффузия". Динамика элемента цепочки. Состояния равновесия. Разбиение фазового пространства на траектории. Основные динамические режимы. Провал распространения волн в цепочке. Существование состояний равновесия. Метод поглощающих областей. Устойчивость состояний равновесия. Круги Гержгорина. Устойчивость пространственно-однородных состояний. Расчет спектра Ляпуновских показателей. Стационарные волны в длинноволновой аппроксимации. Система для бегущих волн. Состояния равновесия. Разбиение фазового пространства на траектории. Гомо- и гетероклинические траектории. Расчет интегральных многообразий состояний равновесия в кусочно-линейной системе четвертого порядка. Расчет гомоклинических бифуркаций. Функция расщепления. Расчет гетероклинических бифуркаций. Многообходные и многооборотные гомо- и гетероклинические орбиты. Бифуркационная диаграмма. Импульсы и волновые фронты в цепочке электронных осцилляторов. Волны "светлого" и "темного" типов. Стационарные волны хаотического профиля. Эволюционная устойчивость волн. Сосуществование и конкуренция бистабильных, возбудимых и автоколебательных свойств среды. Свойства бегущих импульсов. Автоволны и автоструктуры в системах "реакция-диффузия". Солитоны и диссипативные солитоны. Аннигиляция и отражение импульсов в цепочке. Качественное описание механизма отражения импульсов.

V. ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Обобщения, выводы, перспективы прикладного использования нелинейных волн в системах передачи информации

4. Формы текущего, промежуточного и итогового контроля.

Текущий контроль: контрольные опросы.

Итоговый контроль: зачет в конце 9-го семестра.

5. Учебно-методическое обеспечение курса.

5.1. Рекомендуемая литература (основная).

1. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. - М.. Наука, 1984.
2. Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. - М.: Наука, 1987, 240 с.
3. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. - М.. Сов. радио, 1977.
4. Афраймович В.С., Некоркин В.И., Осипов Г.В., Шалфеев В.Д. Устойчивость, структуры и хаос в нелинейных сетях синхронизации. - ИПФ АН СССР, Горький, 1989, 256 с.

5.2. Рекомендуемая литература (дополнительная).

1. Нелинейные волны. Самоорганизация. / Под. ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И. -М.. Наука, 1983, 264 с.
2. Нелинейные волны. Динамика и эволюция. / Под. ред. Гапонова-Грехова А.В., Рабиновича М.И. - М.. Наука, 1989, 398 с.
3. Хакен Г. Информация и самоорганизация. Макроскопический подход к сложным системам. -М.: Мир, 1991.
4. Кринский В.И., Медвединский А.Б., Панфилов А.В. // Математика и Кибернетика. 1986. Т.8.
5. Некоркин В.И. // Радиофизика. Т. 31, ?1. 1988. С. 41.
6. Динамика систем: Динамика и оптимизация: Межвуз. тематич. сб. науч. тр./ Под. ред. Неймарка Ю.И. -Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1992, с. 63.
7. Некоркин В.И., Макаров В.А., Казанцев В.Б. // Вестник Нижегородского ун-та. Нелинейная динамика - синхронизация и хаос / Под ред. Рабиновича М.И. -Н.Новгород: Изд-во ННГУ, 1996, с. 61.
8. Nekorkin V.I., Makarov V.A., Kazantsev V.B. and Velarde M.G. // Physica D V 100. 1997. P. 330.

Составитель программы:
ст. преподаватель, к.ф.-м.н.
В.Б. Казанцев