Государственный комитет Российской
Федерации
по высшему образованию
Нижегородский государственный университет
им.Н.И.Лобачевского
ПРОГРАММА
дисциплины
"ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ"
по направлению 511500 - "радиофизика"
Курс: 3
Семестр: 5, 6
Лекции: 68 час.
Практика: 51час.
Зачет 5 семестр.
Экзамен 6 семестр.
Программа составлена чл.-корр. РАН М.И. Рабиновичем и д.ф.-м.н., проф. В.И. Некоркиным (Нижегородский университет)
ЦЕЛИ И ЗАДАЧИ КУРСА
"ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ"
Колебательные и волновые процессы являются предметом исследования специалистов в самых различных областях науки и техники (радиофизика, механика, радиотехника, акустика, электроника и т.д.) Конкретные системы, с которыми приходится иметь дело специалистам в этих областях, совершенно различны, однако, колебательно-волновые явления и процессы, в них происходящие, подчиняются общим закономерностям и описываются едиными колебательными моделями. Такое единство позволяет существенно глубже разобраться в сути явлений в каждой конкретной ситуации и, кроме того, воспользоваться опытом, накопленным при изучении, например, механических систем, при анализе радиофизических систем.
1. Учебные цели курса.
Изучение основных моделей колебательно-волновых явлений и процессов, их приложение к конкретным физическим (техническим) ситуациям, и развитие общих методов исследования подобных явлений, независимо от их конкретной природы, и составляет предмет теории колебаний.
На радиофизическом факультете курс теории колебаний особенно важен - вся дальнейшая работа радиофизиков и радиоинженеров связана с исследованием процессов рождения колебаний (создания генераторов), их преобразования и модуляции, распространения, приема и обработки. Все эти процессы базируются на сравнительно небольшом многообразии основных колебательных явлений (автоколебания, нелинейное преобразование колебаний, распространение в неоднородных и нелинейных средах и др.). Эти же явления и соответствующие модели являются необходимым элементом научной культуры, необходимой и физику-теоретику (модели связанных состояний в квантовой теории поля, нелинейные колебательные процессы в общей теории относительности и т.д.).
2. Учебные задачи курса.
Задачи преподавания теории колебаний на радиофаке сводятся к следующему:
1.Показать студентам, как можно распознавать в сложных, на первый взгляд, колебательно-волновых процессах в конкретных задачах физики или техники основные - (элементарные) колебательные явления и свести исходную проблему к анализу этих моделей.
2.Достичь понимания студентами основных колебательно-волновых явлений на простых моделях и системах (резонанс, устойчивость, параметрическое усиление и генерация, сохранение инвариантов, генерация гармоник и умножение частоты, самомодуляция, нелинейная трансформация волн, рождение хаоса в детерминированных системах и проч.).
3.Познакомить студентов и научить их пользоваться основными методами теории колебаний (методы фазового пространства - качественные методы на фазовой плоскости, метод точечных отображений; асимптотические методы, связанные с усреднением; методы разрывных колебаний и волн; методы, связанные с использованием ЭВМ).
3. Дисциплины, изучение которых необходимо для усвоения курса.
1. Теория дифференциальных уравнений (курс в полном объеме).
2. Радиотехника (теория цепей, генераторы и усилители).
3. Общая физика (раздел "Колебания и волны").
4. Математическая физика (теория собственных функций краевой задачи, теория гиперболических и параболических уравнений в частных производных).
СОДЕРЖАНИЕ КУРСА
"ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ".
Программа курса
I. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ.
Дается историческое введение, излагается структура курса, сходство и различие распределенных и сосредоточенных систем. Рассматриваются свойства линейного осциллятора с трением и без трения; типы состояний равновесия на плоскости. Резонанс в системах с одной степенью свободы. Отклик ансамбля невзаимодействующих осцилляторов на внешнее поле. - 4 часа.
II. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУРАХ.
Приводятся дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов. Вводится физический смысл понятия "дисперсия". Переход от дискретных структур к распределенным. Фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета. Характеристические уравнения ограниченных распределенных систем. Примеры. - 6 часов.
III. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СОСРЕДОЧЕННЫХ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ И ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ. УСТОЙЧИВОСТЬ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМ.
Сведение задачи к оценке расположения корней характеристического уравнения на комплексной плоскости. Классификация типов состояний равновесия (особых точек) в системах второго и третьего порядка; исследование их устойчивости. Простейшие динамические системы с дискретным временем. Отображение Пуанкаре. Классификация неподвижных точек одномерных и двумерных точечных отображений. Понятие об устойчивости распределенных систем. Абсолютная и конвективная неустойчивость. Усиление и не пропускание. Физические примеры. - 6 часов.
IV. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ.
Рассматривается параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы. Теория Флоке. Уравнение Матье. Асимптотический метод. Определение зон параметрической неустойчивости. Системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические инварианты. Распространение гармонической волны в средах с плавной неоднородностью. - 8 часов.
V. КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
Нелинейный осциллятор. Фазовый портрет. Резонанс в нелинейном осцилляторе. Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости. Основные (коразмерности I) бифуркации динамических систем на плоскости: двукратное равновесие, нейтральное равновесие (бифуркация Андронова-Хопфа), двукратный предельный цикл, петля сепаратрисы седла и седло-узла, сепаратрисная связка. - 8 часов.
VI. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ.
Система с одной степенью свободы. Физические примеры. Динамика маятника в вязкой среде. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Метод разрывных колебаний. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи). Связанные автогенераторы. Явление захватывания, определение полосы синхронизации. Конкуренция колебаний в многомодовых автогенераторах. - 10 часов.
VI. РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСЦИЛЛЯТОРОВ.
Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью. Соотношение Мэнли-Роу. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией. - 4 часа.
VIII. ПРОСТЫЕ ВОЛНЫ И ОБРАЗОВАНИЕ РАЗРЫВОВ.
Гравитационные волны на мелкой воде. Теория характеристик. Формирование разрывов. Определение координат разрыва. - 2 часа.
IХ. СТАЦИОНАРНЫЕ ВОЛНЫ В КОНСЕРВАТИВНЫХ И АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ.
Стационарные ударные волны. Уединенные волны - солитоны. Солитоны в уравнении Кортевега де Вриза. Эволюция нестационарного возмущения. Бегущие фронты в диссипативном уравнении sin-Гордона.
X. АВТОКОЛЕБАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ.
1. Основные (коразмерности I) бифуркации многомерных динамических систем: Бифуркации состояний равновесия: двукратное равновесие, бифуркация Андронова-Хопфа. Бифуркации периодических движений: двукратный предельный цикл, удвоение периода, рождение инвариантного тора. Нелокальные бифуркации в окрестности гомоклинической траектории. Динамический хаос. Странный аттрактор. - 6 часов.
2. Характеристические показатели Ляпунова. Фрактальные структуры и размерность странных аттракторов. Ляпуновская размерность. Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума. - 2 часа.
3. Сценарии перехода к хаосу через бифуркации квазипериодических движений. Модели Ландау-Хопфа Рюэля-Такенса. - 2 часа.
4. Хаос в системах с гомоклинической кривой. Отображение "подкова Смейла". - 2 часа.
5. Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Вывод модели Лоренца. Бифуркации в системе Лоренца. - 4 часа.
ТЕМЫ ПРАКТИЧЕСКИХ ЗАНЯТИЙ.
1. Знакомство с аппаратом фазового пространства. Понятие о грубых и негрубых динамических системах (на примере систем на прямой). Исследование систем на прямой. -2 часа.
2. Нелинейный осциллятор. Построение фазового портрета. -2 часа.
3. Исследование грубых состояний равновесия на фазовой плоскости и в трехмерном пространстве. Линеаризация и составление характеристических уравнений. -2 часа.
4. Методы определения устойчивости состояний равновесия линеаризованных систем. Метод Гурвица. Метод Д-разбиений по одному комплексному параметру. - 4 часа.
5. Знакомство с методом точечных преобразований. Исследование грубых неподвижных точек одномерных и двумерных точечных отображений. -2 часа.
6. Контрольная работа. -2 часа.
7. Мягкая и жесткая потеря устойчивости состояний равновесия на плоскости. "Срыв равновесия" (бифуркация - двукратное равновесие) на плоскости. - 4 часа.
8. Исследование систем на плоскости методом Ван-дер-Поля. Нахождение частоты и амплитуды автоколебаний генератора. - 4 часа.
9. Исследование автоколебательных систем на плоскости методом точечных отображений. - 4 часа.
10. Исследование автоколебательных систем на плоскости методом разрывных колебаний. -2 часа.
11. Метод Ван-дер-Поля для неавтономных систем. Задача о синхронизации генератора внешней силой. - 4 часа.
12. Контрольная работа. -2 часа.
13. Цепочечные структуры. Составление дисперсионных характеристик, определение собственных частот. - 4 часа.
14. Составление дисперсионных уравнений распределенных систем. Решение задач с начальными и граничными условиями. -2 часа.
15. Стационарные волны в консервативных средах. -2 часа.
16. Простые волны. Эволюция простых волн. Определение координат разрыва. Структура стационарной ударной волны. -2 часа.
17. Автоколебания в виде стационарной ударной волны. - 4 часа.
18. Контрольная работа. -2 часа.
19. Обзорное занятие. -2 часа.
Тематический указатель литературы.
ПЕРЕЧЕНЬ ЛАБОРАТОРНЫХ РАБОТ
ЛИТЕРАТУРА ПО КУРСУ
Основная литература
Дополнительная литература
Авторы: / Рабинович М.И. / / Некоркин В.И./