СПИСОК ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ

СПИСОК ОСНОВНЫХ ФОРМУЛ, НЕОБХОДИМЫХ ДЛЯ РЕШЕНИЯ РЕКОМЕНДОВАННЫХ ЗАДАЧ ПО КВАНТОВОЙ РАДИОФИЗИКЕ

РАЗДЕЛ 1.

КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ СВОБОДНОГО ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО ПОЛЯ .

Кулоновская калибровка :

1.2. Разложение вектор-потенциала:

1.3.Собственные функции оператора Лапласа:

1.4.Нормировка собственных функций:

1.5.Канонически сопряженные переменные для электромагнитного поля:

1.6.Уравнения Гамильтона для свободного электромагнитного поля:

откуда следует:

1.7. Разложение напряженностей электрического и магнитного полей по собственным функциям оператора Лапласа:

1.8. Функция Гамильтона свободного электромагнитного поля:

1.9. Сводка операторов полей (Шредингеровская картина движения):

1.10. - представление в квантовой теории электромагнитного поля:

1.11. Коммутатор для канонически сопряженных операторов:

1.12. Волновая функция стационарного состояния свободного электромагнитного поля:

1.13. Энергия стационарного состояния электромагнитного поля:

где целое положительное число.

1.14. Среднее значение L величины L в квантовой теории:

где q - совокупность аргументов волновой функции .

1.15. Дисперсия D (L) величины L в квантовой теории:

1.16. Зависимость от времени волновой функции стационарного состояния:

1.17.Операторы рождения и уничтожения фотона в моде :

1.18. Оператор числа фотонов моды :

1.19. Оператор энергии моды :

1.20. Свойства операторов рождения и уничтожения фотонов:

1.21. Коммутаторы операторов рождения и уничтожения фотонов

1.22. Сводка полевых операторов для свободного пространства (разложение по плоским волнам ):

где L³ - объем нормировочного пространства, а - единичный вектор поляризации плоской волны типа .

1.23. Импульс электромагнитного поля

РАЗДЕЛ 2
КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ИЗЛУЧЕНИЯ

Цель предлагаемых задач и тестовых вопросов к данному разделу сводится:

К формированию у студента понимания фундаментальных элементарных процессов взаимодействия электромагнитного поля с веществом;
К умению свести описание различных электромагнитных явлений в средах к совокупности элементарных актов взаимодействий (однофотонные, двухфотонные и т.д. процессы):
К развитию практических навыков расчета коэффициентов усиления и поглощения электромагнитных волн в средах по ее атомным ( молекулярным и т.д.) константам, и наоборот, расчет этих констант по экспериментальным значениям коэффициента поглощения (усиления, рассеяния); эти задачи являются базовыми в квантовой электронике, радио- и оптической спектроскопии.

Ввиду того, что сходные по содержанию понятия в таких областях, как квантовая теория излучения, квантовая электроника, радио- и оптическая спектроскопия зачастую используются в различных размерностях, ниже приводятся определения этих терминов и даются, во избежание ошибок при расчетах, их размерности.

1."Золотое" правило Ферми (вероятность перехода в единицу времени из начального состояния квантовой системы k с энергией Е_к в конечное состояние m с энергией Е_m под действием не зависящего от времени возмущения V

, (2.1)

где V_mk - матричный элемент возмущения (энергии взаимодействия) по невозмущенным состояниям квантовой системы, а r (Е_m) - плотность энергетических состояний квантовой системы с энергией Е_m.

2.Оператор энергии взаимодействия вещества с квантовым электромагнитным полем

(2.2)

Здесь e_k, m_k - заряд и масса k- той заряженной частицы вещества, -оператор импульса k-той частицы, - оператор вектор-потенциала в точке расположения k-той частицы, c - скорость света и N - число частиц в веществе.

3.Приближенное выражение для оператора энергии взаимодействия вещества с квантованным электромагнитным полем при условии малости размеров вещества а по сравнению с длиной волны излучения

(2.3)

В этом выражении - соответственно обозначают операторы электрического, магнитного дипольных моментов и тензора электроквадрупольного момента всего вещества; и - операторы электрического и магнитного полей в некоторой центральной точке вещества, ij - декартовы компоненты вектора, - оператор градиента по координате

4. Матричный элемент энергии взаимодействия вещества с квантованным электромагнитным полем для процесса однофотонного излучения в электродипольном приближении

(2.4)

В этом выражении i -мнимая единица, - частота моды поля в объеме L³, - единичный вектор поляризации фотона типа , - матричный элемент дипольного момента по квантовым состояниям вещества с наборами квантовых чисел a и b, а nl - число фотонов в моде типа до процесса взаимодействия с веществом.

На диаграмме процесса однофотонного излучения двойная и одинарная стрелки соответственно обозначают индуцированное (синонимы: вынужденное, стимулированное) и спонтанное излучение.

Матричный элемент энергии взаимодействия вещества с квантованным электромагнитным полем для процесса однофотонного поглощения в электродипольном приближении

(2.5)

Диаграмма процесса однофотонного поглощения

Число плоских волн dN в объеме пространства L³ с заданной поляризацией, приходящихся на телесный угол d и частотный интервал d .

(2.6)

Плотность мод (радиационных осцилляторов или осцилляторов поля)

(2.7)

Величина имеет размерность [с /(радстерад)].

Иногда плотность мод используется в размерности [дж^-1стерад^-1].

(2.8)

Для измерения интенсивности электромагнитного излучения используются величины:

а. Интенсивность излучения I - энергия электромагнитного излучения, приходящаяся на единичное сечение поверхности в единицу времени . Размерность I - [ Вт/ м² ] .

б. Спектральная интенсивность излучения - интенсивность электромагнитного излучения, приходящаяся на единичный интервал частот. Размерность - [Вт с/(м²рад)]

в. Спектральная яркость излучения - спектральная интенсивность, приходящаяся на единичный интервал телесного угла в направлении, определяемом углами в сферической системе координат .

Размерность - [Втс/(м²стерадрад)].

Спектральная яркость излучения с определенной поляризацией на частоте связана со средним числом фотонов данной частоты и поляризации соотношением

(2.9)

Среднее число фотонов в моде , возбужденной тепловым электромагнитным излучением при температуре , равно

(2.10)

где К_Б - постоянная Больцмана.

Полное число мод электромагнитного излучения в объеме , приходящееся на единичный интервал частот равно

(2.11)

Размерность этого выражения - [с/рад]. Здесь множитель 2 учитывает две поляризации, а - полный телесный угол

Объемная плотность энергии электромагнитного излучения черного тела при температуре T, приходящаяся на единичный спектральный интервал на частоте (формула Планка), определяется выражением

(2.12)

Размерность - [джс/(м³радиан)]. Спектральная яркость связана со спектральной плотностью энергии поляризованного излучения в единице объема пространства соотношением

Суммируя обе части данного равенства по двум независимым поляризациям и подставляя в левую часть соотношение (2.9), для изотропного естественно-поляризованного излучения с широкополосным спектром получаем

где - число фотонов в моде типа .

В случае теплового электромагнитного излучения это выражение совпадает с формулой Планка (2.12).

Вероятность излучения в единицу времени фотона с поляризацией и частотой в единичный телесный угол пространства при переходе квантовой системы (атом, молекула и т.д.) между энергетическими уровнями

(2.13)

Размерность [c^-1стерадиан ^-1]. В этом выражении: - число фотонов с поляризацией и частотой в электромагнитном поле перед актом излучения системы; -боровская частота перехода между уровнями квантовой системы E₂ и E₁; - волновой вектор излученного фотона, - координата k-ой заряженной частицы системы; - число заряженных частиц у квантовой системы; - индексы, обозначающие номера вырожденных состояний соответственно нижнего E₁ и верхнего E₂ энергетических уровней системы; q₁ и q₂ - кратности вырождения энергетических уровней E₁ и E₂. Формула (2.13) получена в предположении, что уровни E₂ и E₁ не уширены.

В формуле (2.13) с помощью - обозначен матричный элемент оператора по квантовым состояниям и

(2.14)

Электродипольное приближение :
Вероятность излучения (2.13) в электродипольном приближении

(2.15)

При условии независимости матричного элемента дипольного момента от индексов и формула (2.15) принимает стандартное выражение

(2.16)

Вероятность поглощения в единицу времени квантовой системой одного фотона с поляризацией и частотой из падающего электромагнитного поля, вектор распространения которого заключен в пределах единичного телесного угла

(2.17)

Размерность - [ с^-1стерадиан^-1]. Выражение (2.17) дано в тех же предположениях , что и формула для вероятности излучения (2.16).

В реальной ситуации энергетические уровни квантовой системы уширены, а спектральная линия излучения (поглощения) имеет конечную ширину и описывается нормированным контуром спектральной линии , причем .

Ширина спектральной линии на уровне половинной интенсивности - . Реально . В этом случае для вероятности излучения предпочтительнее пользоваться выражением

(2.18)

с размерностью [ с^-1стерадиан^-1(радиан/ с )^-1 ]. Таким образом, выражение (2.18) имеет следующий физический смысл: вероятность в единицу времени излучения поляризованного фотона (поляризация ) в единичный телесный угол на частоте , которая принадлежит единичному спектральному интервалу в пределах спектральной линии

Вероятность поглощения в единицу времени падающего на квантовую систему из единичного телесного угла поляризованного () фотона с частотой , заключенной в пределах единичного частотного интервала, равна

(2.19)

Размерность -[с^-1cтерадиан^-1( радиан/с)^-1 ] .

18.Сила осциллятора f₂₁ . С помощью этой величины в оптической спектроскопии характеризуют интенсивность спектральной линии, обусловленной квантовыми переходами между состояниями с энергиями E₂ и E₁

(2.20)

где е и m_e - заряд и масса электрона, а -боровская частота перехода. Величина f₂₁ возникает при сопоставлении интенсивности спектральной линии спонтанного излучения с интенсивностью излучения классического диполя на собственной частоте . "Доквантовая" физика объясняла излучение атома, моделируя движение электронов в атоме колебаниями классических осцилляторов (диполей) с частотами, образующими характерный для данного атома оптический спектр частот. Энергия классического осциллятора с зарядом е и массой m_e из-за излучения в окружающее пространство затухает по закону

(2.21)

с характерным временем (2.22)

В квантовой теории этому процессу соответствует спонтанное излучение при переходе атома с уровня E₂ на E₁ время затухания спонтанного излучения связано с вероятностью излучения A_cn (пропорциональна интенсивности) соотношением

(2.23)

Если соотнести классическое и квантовое описания процесса излучения атома на частоте , то удобно представить (2.23) в виде

(2.24)

где определяется (2.22) , а f₂₁ - соотношением (2.20).

Таким образом, чтобы привести в соответствие с экспериментом "доквантовые" представления об излучении атома, пришлось каждый парциальный атомный осциллятор характеризовать дополнительной величиной - силой осциллятора.

Для классического осциллятора, по определению, f₂₁ = 1, а вот для электродипольного перехода в оптике сила осциллятора согласно (2.20) равна (предполагается дебай).

В квантовой электронике для интенсивности спектральной линии (оценки взаимодействия атома с полем излучения) наряду с силой осциллятора используют коэффициенты Эйнштейна. Привлечение коэффициентов Эйнштейна возможно только в случае широкополосного излучения , т.е. когда плотность энергии внешнего излучения практически не зависит от частоты в пределах спектральной линии поглощения атома. Коэффициенты Эйнштейна B₂₁, B₁₂ и A₂₁ определяются соотношениями

(2.25)

Применение (2.25) предполагает, что атом взаимодействует с изотропным естественно поляризованным излучением. В формуле (2.25) использованы следующие обозначения:

- спектральная плотность электромагнитной энергии в единице объема пространства имеет размерность [ДжС /(м³радиан],

- вероятность спонтанного излучения атома в единицу времени определяется соотношением (2.23), и - соответственно вероятности излучения и поглощения одного фотона поля в единицу времени на частоте квантового перехода (т.е. в пределах спектральной линии атома); размерность вероятностей - [c^-1]. Таким образом, размерность коэффициентов Эйнштейна для вероятностей индуцированного излучения и поглощения равна [м³/(Джс)][радиан/с]. В случае, если атом взаимодействует с тепловым электромагнитным излучением, спектральная плотность энергии определяется формулой Планка (2.12).

Замечание. Вероятности и могут быть получены интегрированием выражений (2.18) и (2.19) по телесному углу и спектру и суммированием по двум независимым поляризациям.

Коэффициенты Эйнштейна связаны между собой соотношениями

(2.26)

которые вытекают из определения (2.25) и выражений (2.18), (2.19) и (2.23).

В случае, когда падающее на атом электромагнитное поле не является изотропным и, как вариант, не является естественно поляризованым, но широкополосным, используются дифференциальные коэффициенты Эйнштейна . Они определяются с помощью соотношений

(2.27)

В этих соотношениях в левых частях стоят вероятности с размерностями, определяемыми соответственно выражениями (2.18) и (2.19), а - объемная плотность энергии излучения, приходящаяся на единичный телесный угол, с поляризацией и частотой , лежащей в единичном спектральном интервале. , таким образом, имеет размерность

[Дж./(м³стерадиан)][с/радиан].

Отсюда следует, что размерность дифференциальных коэффициентов Эйнштейна для индуцированного излучения и поглощения и - [м³/(Джс)], размерность дифференциального коэффициента Эйнштейна для спонтанного излучения - [1/ сстерадиан] [с/радиан].

Используя связь спектральной яркости и объемной плотности спектральной энергии

(2.28)

и выражения (2.9) , (2.18) и (2.19), из определений (2.27) получаем

(2.29)

23. Для оценки поглощающей способности среды в определенном спектральном диапазоне наряду с вероятностью поглощения фотона используется сечение фотопоглощения. В отличие от вероятности сечение фотопоглощения не зависит от величины поля и является исключительно характеристикой среды.

Сечение фотопоглощения s _погл () на частоте есть величина, численно равная отношению вероятности поглощения фотона (см.(2.19)) в размерности [с^-1стерад.^-1(радиан/с)^-1] к потоку падающих фотонов из единичного телесного угла, приходящегося на единичный интервал частот с центром на частоте . Поток фотонов определяется отношением спектральной яркости (см.(2.9)) к величине энергии фотона .

s _погл.[м²] (2.30)

Подставляя сюда выражения (2.19) и (2.9), получаем аналитическое выражение для сечения фотопоглощения:

s _погл. (2.31)

Аналогичным образом определяется сечение для индуцированного излучения

s _изл. [м²] (2.32)

Если известно сечение процесса (экспериментальное значение), то вероятность процесса определяется выражением (2.30) или (2.31), например для поглощения

s _погл. (2.33)

26.Если для поля задана величина интенсивности I [Вт/м²] , то согласно (2.33) вероятность поглощения в единицу времени определяется выражением

[с^-1]=s _погл. (2.34)

Формула (2.34) находится с помощью интегрирования по частоте и телесному углу и предполагает остронаправленное узкополосное (по сравнению с шириной спектральной линии ) излучение от внешнего источника (или поле внутри резонатора).

27. Для узконаправленного широкополосного излучения удобно использовать величину спектральной интенсивности (см.пункт 7). В этом случае по сечению определяется вероятность процесса в размерности [с^-1(рад/с)^-1]