по направлению 511500 - радиофизика
ПРЕДИСЛОВИЕ
Курс "Векторный и тензорный анализ" предназначен для студентов радиофизического факультета. Для усвоения излагаемого материала от слушателей требуется умение дифференцировать, интегрировать и знание основных положений аналитической геометрии.
В данном курсе даются необходимые сведения по векторному анализу, чтобы можно было в дальнейшем изучать физические величины, имеющие векторную природу. В физике кроме скаляров (температура, масса, плотность вещества), векторов (поле скоростей, ускорений, силы) встречаются объекты более сложной природы.
Курс снабжен необходимым количеством задач физического характера, способствующими лучшему усвоению понятий и методов векторного и тензорного анализа, более того формализм максимально приближен к нуждам физики. Тензорный анализ для физика- это математический аппарат, с помощью которого не только сокращаются многосистемные выкладки, но и концентрируется физическая идея, так как использование тензорного анализа позволяет отодвинуть на второй план сложную геометрическую картину физического явления.
Цель данного курса состоит в следующем: повышение профессионального уровня в плане подготовки специалиста, обеспечение необходимыми знаниями и привитие практических навыков работы с основными понятиями векторного и тензорного анализа.
Задачами изучения курса являются: закрепить и развить знания, умения и приемы, полученные при усвоении курсов, на которые опирается данный курс; подготовить исходный уровень знаний и навыков, необходимых для успешного освоения курсов радиофизического профиля, например таких как, электродинамика, квантовая механика, теория волновых процессов, ядерная физика и т.д.
ВВЕДЕНИЕ
Данный курс состоит из двух частей: "Векторный анализ" и "Тензорный анализ". В первой части представлены приемы, методы векторного анализа, которые необходимы для исследования физических величин, дифференцирование, интегрирование векторных объектов и алгебраические действия с ними на ряду с введением новых физических понятий, а также проведение необходимых исследований, используя формализм векторного исчисления.
Изложение основ тензорного анализа начинается практически "с нуля". Следует отметить, что в тензорном анализе приходится оперировать с объектами, которые были представлены в первой части курса. В связи с этим усвоение тензорного анализа зависит от усвоения основ векторного анализа и понимания физической интерпретации результатов интегрирования и дифференцирования математических объектов.
Практические занятия снабжены необходимым количеством задач геометрического и физического характера, помогающими лучшему усвоению понятий векторного и тензорного анализа.
Часть 1. Векторный анализ
Введение в курс "Векторный анализ"
Цель и задачи, предмет и содержание курса, его связь с другими курсами. Краткие исторические сведения о развитии векторного анализа.
Векторные функции скалярного аргумента
Понятие годографа векторной функции скалярного аргумента. Дифференцирование векторной функции скалярного аргумента. Векторы касательной, нормали, бинормали и вектор кручения пространственной кривой.
Скалярное поле
Определение скалярного поля. Поверхности уровня. Производная поля вдоль кривой, производная по направлению. Градиент скалярного поля и его геометрическая интерпретация. Теорема о градиенте.
Векторное поле
Определение. Векторные линии. Уравнение векторной линии. Дивергенция векторного поля. Теорема Остроградского-Гаусса (теорема о дивергенции). Дивергенция как оператор. Определение дивергенции в декартовой системе координат. Ротор векторного поля. Теорема о роторе. Теорема Стокса. Вычисление ротора в декартовой системе координат.
Оператор Лапласа. Операции второго порядка векторного анализа.
Соленоидальные и потенциальные векторные поля. Понятие векторного и скалярного потенциалов.
Криволинейные интегралы 1-го и 2-го рода. Поверхностные интегралы 1-го рода и 2-го рода. Объемные интегралы. Объемные производные. Интегральные теоремы векторного анализа. Теорема Гельмгольца (определение векторного поля по известному ротору и дивергенции).
Координаты, координатные линии, координатные поверхности. Переход от декартовой к криволинейным системам координат (сферические и цилиндрические системы координат). Локальный нормированный (физический) базис. Коэффициенты Ламэ. Элементы дуги, площади и объема в криволинейных системах координат. Связь между декартовыми компонентами вектора и компонентами разложения вектора по локальному базису.
Градиент, дивергенция, ротор и оператор Лапласа в криволинейных системах координат. Случай сферических и цилиндрических координат.
Часть 2. Тензорный анализ
Общее определение тензора
Цель и задачи, предмет и содержание курса, его связь с другими курсами.
Понятие тензора. Инвариантность. Основная задача тензорного исчисления.
Преобразование координат
Локальный и взаимный базисы. Метрическая матрица. Ковариантные и контравариантные компоненты вектора. Закон преобразования координат.
Матрицы преобразования при переходе от декартовой к ортонормированной криволинейной системе координат.
Тензорная алгебра
Алгебраические операции над тензорами: сложение тензоров, умножение тензора на действительное число, умножение тензоров, свертывание тензора, свертывание произведения тензоров, перестановка индексов тензора.
Тензорная производная
Тензорное поле и его дифференцирование. Абсолютный дифференциал и абсолютная производная.
Практические занятия
Основная литература
Дополнительная литература
4. Сокольников И.С. Тензорный анализ. Теория применения в геометрии и в механике сплошных сред. М., "Наука", 1971.
Программу составил О.В. Шефер, доцент (Томский университет)