"ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ"

по направлению 511500 - радиофизика

Введение. История, место теории дифференциальных уравнений. Математические сведения, необходимые для изучения курса. Основные определения. Физические задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Уравнения в обыкновенных и частных производных.

Уравнения первого порядка. Геометрическая интерпретация дифференциальных уравнений. Изоклины, ломанная Эйлера, интегральная кривая. Общее и частное решения задачи Коши для уравнения в нормальной форме, начальные значения. Интегральное уравнение эквивалентное задаче Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши. Особые решения задачи Коши.

Уравнения в разделяющихся переменных. Уравнения, приводящиеся к разделяющимся переменным: неполные, канонические, однородные, сводящиеся к однородным.

Линейные дифференциальные уравнения. Уравнения Бернули, Риккати.

Дифференциальные уравнения в полных дифференциалах. Тождество Эйлера. Интегрирующий множитель.

Дифференциальные уравнения неразрешенные относительно производной. Простейшие типы уравнений, допускающие интегрирование. Теорема существования и единственности для уравнений, неразрешенного относительно производной.

Дифференциальные уравнения n-го порядка. Нормальные уравнения. Системы уравнений и векторная формулировка задачи Коши. Теорема существования и единственности. Уравнения высших порядков, допускающие понижение порядка.

Линейные уравнения. Теорема существования и единственности. Фундаментальная система решений. Определитель Вронского, формула Остроградского-Лиувилля. Общее решение однородного и неоднородного уравнения. Методы получения частных решений неоднородных уравнений: наложения и вариации произвольных постоянных Лагранжа. Фундаментальные решения однородного уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Характеристическое уравнение, характеристические числа. Решение системы уравнений с постоянными коэффициентами.

Метод неопределенных коэффициентов и общее решение неоднородного линейного уравнения n-го порядка с постоянными коэффициентами. Правая часть экспоненциального и тригонометрического типа. Решение задачи теории колебаний: вынужденные и собственные колебания.

Понятие краевой задачи Штурма-Лиувилля. Свойства собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля. Теорема Стеклова.

Понятие функции Грина и -функции. Фундаментальные решения и функция Грина. Функция Грина и неоднородная краевая задача. Спектральное представление функции Грина.

Элементы теории устойчивости. Понятие устойчивости решения по Ляпунову. Точка покоя. Теорема об устойчивости решения линейных уравнений с постоянными коэффициентами. Типы точек покоя. Фазовая плоскость. Особые точки и предельные циклы.

Приближенные методы интегрирования дифференциальных уравнений: ломаная Эйлера, итерации Пикара, разностные методы, метод прогонки. Устойчивость и сходимость. Особенности математических пакетов решения уравнений на ЭВМ. Асимптотические методы решения, элементы теории возмущений.

Уравнения с частными производными первого порядка. Линейные и однородные уравнения. Квазилинейные уравнения. Метод характеристик.

ЛИТЕРАТУРА

1. Тихонов А.Н., Васильева А.В., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1985.
2. Краснов М.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Высшая школа, 1986.
3. Филиппов А.Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1985.
4. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. М.: Наука, 1967.
5. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1966.
6. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.
7. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1971.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
9. Старовойтова Р.П., Пономарева В.Н. Функция Грина: Учебное пособие. Томск: Изд-во Томск. ун-та, 1984.

Программа составлена профессором В.П.Якубовым, доцентом В.П. Беличенко (Томский государственный университет)