"ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ И ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ"

по направлению 511500 - радиофизика

Введение. История, связь дифференциальных и интегральных уравнений. Основные определения. Физические задачи, приводящие к интегральным уравнениям. Роль функций Грина в теории дифференциальных и интегральных уравнений. Классификация интегральных уравнений. Вариационные задачи.

Интегральные уравнения Фредгольма. первого и второго рода: метод последовательных приближений, повторные ядра, резольвента ядра. Условия существования решения. Принцип сжатых отображений. Связь с краевой задачей Штурма-Лиувилля. Собственные значения и собственнные функции. Теоремы Фредгольма.

Понятие обратного оператора. Замена интегрального уравнения системой линейных алгебраических уравнений.

Союзные и сопряженные интегральные уравнения. Уравнения с вырожденными ядрами.

Уравнения с симметричными ядрами, свойства собственных функций и собственных значений, билинейное разложение ядер. Приведение ядра интегрального уравнения к симметричному виду.

Интегральные уравнения Вольтерра первого и второго рода. Итерационное решение и условия существования решения. Сведение уравнения первого рода к уравнению второго рода. Уравнение Абеля.

Понятие интегрального преобразования. Понятие прямого и обратного интегральных преобразований. Интегральное преобразование Фурье. Интегральные уравнения Фредгольма в свертках.

Интегральное преобразование Лапласа и уравнения Вольтерра в свертках.

Применение интегральных преобразований к интегрированию дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Приближенные методы решения интегральных уравнений. Понятие некорректно поставленной задачи по Адамару. Понятие квазирешения и регуляризирующего функционала Тихонова. Методы решения некорректных задач. Принципы выбора параметра регуляризации. Алгоритмы решения на ЭВМ.

Вариационное исчисление. Понятие функционала. Основная задача вариационного исчисления: относительный и абсолютный экстремум функционала.

Уравнение Эйлера. Понятие вариационной производной. Уравнение Остроградского. Вторая вариация, условия Лежандра.

Изопериметрическая задача. Условный экстремум. Неопределенные множители Лагранжа. Достаточное условие экстремума.

ЛИТЕРАТУРА

1. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. М.: Наука, 1967.
2. Краснов М.Л., Киселев А.И., Макаренко Г.И.. Интегральные уравнения. М.: Наука, 1976.
3. Краснов М.Л.. Интегральные уравнения. (Введение в теорию). М.: Наука, 1975.
4. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1965.
5. Васильева А.Б., Тихонов Н.А. Интегральные уравнения: учебное пособие. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989.
6. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.
7. Форсайт Дж., Малькольм М., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980.
8. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.

Программа составлена профессором В.П.Якубовым, доцентом В.П. Беличенко (Томский государственный университет)