по направлению 511500 - радиофизика
Введение. Описание закономерностей физических явлений с применением методов математической физики.
Классификация уравнений с частными производными. Понятие математической модели физического явления. Классификация и приведение к каноническому виду линейных уравнений второго порядка с двумя независимыми переменными. Сопряженные и самосопряженные дифференциальные операторы.
Уравнения гиперболического типа. Физические
задачи, описываемые уравнениями
гиперболического типа. Постановка краевых задач
математической физики. Корректно и некорректно
поставленные задачи. Уравнение колебаний на
бесконечном интервале. Задача Коши. Метод
распространяющихся волн. Описание колебаний на
конечном интервале. Устойчивость решения задачи
Коши. Теорема единственности.
Метод разделения переменных. Задача
Штурма-Лиувилля. Собственные значения и
собственные функции задачи. Теорема Стеклова о
разложении по полной, ортогональной системе
функций. Вынужденные колебания. Формула
Кирхгофа-Соболева и распространение волн в
неограниченном пространстве. Метод Римана
решения задачи Коши в одномерном случае.
Уравнения параболического типа. Уравнения теплопроводности и диффузии. Постановка краевых задач о распространении тепла и диффузии газов в ограниченных областях. Принцип максимума для уравнения теплопроводности. Единственность и устойчивость решения. Метод разделения переменных. Функция источника.
Одномерное распространение тепла на бесконечном и полубесконечном интервалах. Функция источника. Метод Дюамеля. Понятие обобщенного решения для уравнения с частными производными.
Уравнения эллиптического типа. Формулы Грина. Общие свойства гармонических функций. Внутренние краевые задачи для уравнения Лапласа. Единственность и устойчивость решения. Функция Грина и ее свойства. Внешние краевые задачи для уравнения Лапласа. Объемный потенциал. Поверхностные потенциалы. Сведение краевых задач к интегральным уравнениям Фредгольма второго рода. Задача Штурма-Лиувилля для оператора Лапласа. Волновое уравнение в ограниченной области. Волновое уравнение в неограниченной области. Условия излучения. Принцип предельного поглощения.
Понятие об основных типах нелинейных уравнений математической физики и методах их решения.
Специальные функции. Гамма-функция. Интегральное представление. Формула Стирлинга. Бета-функция.
Общая схема метода разделения переменных. Уравнение специальных функций и свойства его решений. Уравнение Бесселя. Различные типы цилиндрических функций. Асимптотические формулы. Функции Бесселя чисто мнимого аргумента.
Уравнение Лежандра. Полиномы Лежандра. Присоединенные функции Лежандра. Шаровые и сферические функции.
Классические ортогональные полиномы. Производящие функции, рекуррентные соотношения. Полиномы Чебышева-Лягерра и Чебышева-Эрмита.
Применение специальных функций к решению краевых задач для уравнений математической физики.
Методы вычисления специальных функций на ЭВМ.
Метод функций Грина. Метод функций Грина решения краевых задач. Дифференцирование разрывных функций. Обобщенные функции. Функция Грина задачи Штурма-Лиувилля. Разложение функции Грина по собственным функциям.
Дельта-функция в многомерном пространстве. Построение двумерной функции Грина. Задача о проводнике с током в свободном пространстве. Функция Грина уравнения Гельмгольца в трехмерном пространстве.
Метод конечных разностей. Разностная схема. Аппроксимация, устойчивость, сходимость и разрешимость разностных схем. Метод прогонки. Применение метода конечных разностей для решения уравнений математической физики.
ЛИТЕРАТУРА
Программа составлена профессором В.П.Якубовым, доцентом В.П. Беличенко (Томский госуниверситет)