по направлению 511500 - радиофизика
ПРЕДИСЛОВИЕ
Настоящий курс содержит основные положения теории вероятностей и математической статистики, а также описание основных методов и идей, используемых в теоретико-вероятностных рассуждениях. Представленные методы иллюстрируются простыми приемами, что помогает в дальнейшем самостоятельно решать задания практического характера, сводя их к известной схеме.
Для успешного усвоения данного курса необходимы: знания традиционного курса математического анализа, в частности, умение интегрировать, дифференцировать. Слушатель должен быть знаком с элементами теории меры, с понятием интеграла по мере на абстрактном пространстве и его простейшими свойствами.
Целью преподавания данного курса является обеспечение необходимыми знаниями и привитие навыков прикладного характера для работы с основными понятиями теории вероятностей и математической статистики.
Задачи изучения настоящего курса состоят в следующем: закрепить и развить знания, полученные при изучении разделов математики, на которые опирается данный курс; подготовить необходимый уровень знаний для успешного освоения курсов, которые опираются на знание основ теории вероятности и математической статистики, таких как статистическая радиофизика, квантовая механика, планирование эксперимента и др.
ВВЕДЕНИЕ
Данный курс содержит систематическое изложение основ теории вероятностей, теории случайных процессов, математической статистики. В нем определены понятия векторного пространства случайной величины, ее характеристик, представлены некоторые виды законов распределения вероятностей, рассмотрены предельные теоремы для случайной величины, приведены важнейшие методы проверки статистических гипотез и построения оценок параметров распределений случайной величины.
В качестве практических упражнений, рассмотрены следующие темы: "Вычисление вероятностей простых и сложных событий по классической схеме", "Функции распределения случайной величины", Определение точечных оценок параметров распределений статистическими методами". Данные задачи помогают лучшему усвоению теоретико-вероятностных методов исследования.
Часть 1. Теория вероятностей
Введение в предмет теория вероятностей
Предмет и метод теории вероятностей. История развития теории вероятностей как математической дисциплины. Задачи, решаемые с использованием теории вероятностей.
Случайные события
Случайные события и их классификация. Классическое определение вероятности. Вычисление вероятностей событий с использованием формул комбинаторики. Геометрическое и статистическое определение вероятности.
Сумма и произведение событий. Формула сложения вероятностей для несовместных событий. Зависимые и независимые события. Условная вероятность. Формулы умножения вероятностей. Теорема сложения вероятностей для совместных событий.
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Случайные величины
Понятие случайной величины. Закон распределения вероятностей случайной величины и способы его задания. Интегральная функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график. Плотность распределения вероятностей случайной величины, ее свойства и график.
Числовые характеристики распределения случайной величины, их смысл.
Законы распределения дискретных случайных величин, биномиальное распределение, распределение Пуассона, геометрическое распределение: его вывод, логическое толкование, средние и дисперсии этих распределений.
Нормальный закон распределения вероятностей, его свойства. Интеграл вероятности и функция Лапласа. Гамма - распределение, его свойства. Показательное распределение. Равномерное распределение.
Система случайных величин
Интегральная функция распределения. Системы двух случайных величин, ее смысл и свойства. Плотность распределения вероятностей двух случайных величин. Зависимые и независимые случайные величины. Условные плотности распределения вероятностей. Числовые характеристики распределения системы двух и более случайных величин и некоторые их свойства.
Функции случайных аргументов
Плотность распределения вероятностей монотонной функции случайного аргумента. Случай немонотонной функции .
Закон распределения вероятностей функции двух и более случайных аргументов. Способы нахождения закона распределения функции нескольких аргументов. Метод характеристической функции. Числовые характеристики распределения функции нескольких аргументов.
Предельные теоремы теории вероятностей
Значение предельных теорем в практике. Неравенство Чебышева. Закон больших чисел.
Центральные предельные теоремы. Ц.П.Т. в форме Линдеберга-Леви.
Понятие о случайных процессах.
Часть 2. Математическая статистика
Введение в математическую статистику
История развития математической статистики как математической дисциплины. Предмет и метод математической статистики. Задачи, решаемые математической статистикой.
Задачи математической статистики. Выборка. Среднее выборочное значение случайной величины. Эмпирические моменты. Способы отбора и группировки выборочных данных.
Теория оценивания параметров
Точечные оценки параметров распределения, требования, предъявляемые к ним. Выборочные среднее и дисперсия как оценки среднего и дисперсии случайной величины. Методы нахождения точечных оценок.
Интервальные оценки. Доверительные интервалы для оценки средних и дисперсий нормально распределенной случайной величины.
Элементы теории корреляции. Сглаживание экспериментальных кривых методом наименьших квадратов.
Статистические гипотезы
Статистическая проверка статистических гипотез. Основная и конкурирующая гипотезы. Критерий, критические области. Ошибки первого и второго рода. Мощность критерия. Примеры.
Критерий Пирсона, критерий Фишера. Некоторые примеры на проверку статистических гипотез.
Практические занятия
Случайные события. Вычисление вероятностей событий по классической схеме.
Вычисление вероятностей сложных событий с использованием формул сложения и умножения вероятностей и формулы полной вероятности.
Вычисление интегральной и дифференциальной функции распределения вероятностей.
Нахождение числовых характеристик некоторых распределений.
Вычисление функций распределений для функций случайных аргументов.
Точечные оценки параметров распределения. Методы нахождения точечных оценок.
Основная литература
Дополнительная литература
Программу составил О.В. Шефер, доцент (Томский университет)