Министерство образования Российской Федерации

УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по курсу

"Статистическая радиофизика"

для направления подготовки 511500 - Радиофизика
(цикл общепрофессиональных дисциплин)
и для специальности
013800 - Радиофизика и электроника
(дисциплины специальности)

СОДЕРЖАНИЕ КУРСА

"Статистическая радиофизика"
(наименование тем и их содержание)

Программа предназначена для подготовки специалистов, бакалавров и магистров по специальностям "Радиофизика и электроника", "Оптико-электронные системы" и "Лазерная техника". Курс "Статистическая радиофизика" читается в 7 семестре студентам-радиофизикам, изучившим курсы "Общая физика", "Методы математической физики", "Электродинамика", "Теоретические основы радиотехники" и "Теория волн". Математической основой курса являются разделы курса высшей математики: математический анализ, аналитическая геометрия, линейная алгебра, дифференциальные уравнения, теория функций комплексной переменной, методы математической физики и теория вероятностей. Статистическая радиофизика - это теория описания флуктуационных явлений в радиофизике. Программа охватывает все основные разделы от простейших методов моделирования и анализа случайных процессов до элементов теории информации и синтеза оптимальных методов приема и анализа сигналов в условиях шумов.

В результате изучения курса студент приобретает новое мировоззрение в понимании процессов, происходящих в различных реальных радиофизических системах, используемых для передачи, приема и анализа информации. В результате выполнения практических и лабораторных работ студент приобретает навыки самостоятельной работы по моделированию и анализу случайных процессов с использованием современных компьютерных технологий.

Для контроля усвоения студентами курса предусмотрено проведение коллоквиума, контрольной работы и зачета по итогам семинарских занятий и лабораторному практикуму. Итоговая оценка знаний проводится на экзамене по всем разделам курса.

Введение.

Предмет изучения статистической радиофизики. Физика возникновения флуктуаций. Единство случайных и детерминированных процессов. Примеры случайных явлений в различных областях радиофизики. Историческая справка.

I. Элементы теории случайных процессов.

1.1. Определение и вероятностное описание случайного процесса. Понятие статистического ансамбля. Вероятностное описание случайного процесса с помощью многомерных плотностей вероятностей. Основные свойства многомерных плотностей вероятностей. Условные плотности вероятностей, их свойства и связь с многомерными безусловными плотностями вероятностей.

1.2. Классификация случайных процессов по их вероятностному последействию. Совершенно случайные процессы, марковские процессы и их описание. Уравнение Смолуховского для условной плотности вероятности марковского процесса. Квазидетерминированные случайные процессы.

1.3. Многомерные характеристические, моментные и кумулянтные функции случайного процесса. Характеристическая функция, определение и свойства. Моментные и кумулянтные функции, их взаимосвязь. Корреляционная и ковариационная функции случайного процесса. Коэффициент корреляции.

1.4. Гауссовские случайные процессы. Многомерная характеристическая функция и плотность вероятностей гауссовского процесса. Информация необходимая для полного описания гауссовского случайного процесса. Ковариационная матрица отсчетов случайного процесса. Основные свойства гауссовских случайных процессов. Обоснование использования гауссовской модели случайных процессов и центральная предельная теорема.

1.5. Стационарные и эргодические случайные процессы. Понятие стационарности в узком и широком смысле. Усреднение по статистическому ансамблю и по времени. Эргодичность случайных процессов. Необходимые и достаточные условия эргодичности по отношению к среднему значению, корреляционной функции, одномерной плотности вероятности. Экспериментальное измерение основных статистических характеристик эргодических случайных процессов.

1.6. Совокупности случайных процессов. Общее описание совокупности двух случайных процессов. Статистическая независимость случайных процессов. Взаимные корреляционные и ковариационные функции. Стационарность, эргодичность, гауссовость совокупности двух случайных процессов.

 2. Спектрально - корреляционный анализ случайных процессов.

2.1 Корреляционные функции. Свойства корреляционных функций нестационарных и стационарных случайных процессов. Среднее значение и корреляционная функция производной и интегрального преобразования от случайного процесса. Непрерывность и дифференцируемость случайного процесса в среднеквадратическом смысле.

2.2. Спектрально-корреляционный анализ сигналов 1-ой группы с конечной энергией. Спектральная плотность энергии, функция корреляции первого рода и их свойства. Преобразование сигналов первой группы линейными системами.

2.3. Спектрально-корреляционный анализ сигналов П-ой группы с конечной мощностью. Спектральная плотность мощности. Соотношение между спектральной плотностью мощности и корреляционной функцией для стационарных случайных процессов (формула Винера-Хинчина). Спектральная плотность мощности нестационарных сигналов П-ой группы. Функция корреляции второго рода. Ширина спектра случайного процесса, ее связь со временем корреляции. Преобразование сигналов П-ой группы линейными системами. Приближение "белого" шума.

2.4. Узкополосные случайные процессы. Квазигармонические флуктуации и узкополосный случайный процесс. Представление узкополосного случайного процесса с помощью аналитического сигнала и с помощью квадратурных составляющих. Основные свойства сопряженных процессов и квадратурных составляющих.

Гауссовский узкополосный случайный процесс. Распределения огибающей, фазы и квадратурных составляющих гауссовского узкополосного процесса. Распределения Релея и Райса.

Теорема Котельникова для случайного процесса с ограниченным спектром. Дискретизация процесса и обрезание спектра процесса.

2.5. Совместные (взаимные) спектральные плотности энергии и мощности случайных процессов. Взаимные функции корреляции первого и второго рода. Взаимные спектры, синфазная и квадратурная составляющие взаимных спектров. Взаимная спектральная плотность мощности входа и выхода линейной системы, выходных сигналов двух линейных систем. Основные неравенства для взаимных спектров. Функция когерентности. Применение взаимных корреляционных функций и спектров для определения источников шума и каналов его распространения.

2.6. Корреляционная функция спектральных компонент случайных процессов. Определение и основные свойства корреляционной функции спектральных компонент стационарного случайного процесса. Взаимная корреляционная функция спектральных компонент.

2.6. Нелинейные преобразования случайных процессов. Случайный процесс на выходе нелинейной системы. Преобразование закона распределения случайного процесса на выходе нелинейной безынерционной системы. Методы моделирования случайных процессов на ЭВМ.

Спектрально-корреляционный анализ нелинейных безынерционных преобразований (НБП) случайных гауссовских процессов. Выражение корреляционной функции выходного процесса в виде ряда по ковариационной функции входного процесса. Взаимная корреляционная и ковариационная функции входа и выхода НБП. Метод производных, формула Прайса. Метод кумулянтных уравнений. Анализ прохождения случайных процессов через цепочки инерционных и безынерционных элементов. Блок-схема анализатора спектра, точность измерения спектральной плотности мощности.

3. Шумы и флуктуации в радиотехнических системах. Импульсные случайные процессы.

3.1. Импульсные случайные процессы. Пуассоновский импульсный случайный процесс. Характеристическая функция пуассоновского процесса. Кумулянтные функции пуассоновского процесса. Ковариационная и спектральная плотность мощности. Формула Кэмпбелла. Преобразования пуассоновского процесса линейными системами.

3.2. Естественные шумы в радиотехнических системах. Дробовой шум. Кинетическая теория дробового шума. Спектральная плотность мощности дробового тока. Формула Шотки, предела ее применимости. Тепловой шум. Кинетический вывод формулы для корреляционной функции теплового шума. Формула Найквиста, пределы ее применимости.

4. Элементы теории оптимальной обработки сигналов.

4.1. Классификация задач оптимальной обработки сигналов. Статистическая модель канала связи. Оптимальное обнаружение, различение, измерение параметров, фильтрация сигналов.

4.2. Оптимальное обнаружение сигналов при дискретных наблюдениях.

Двухальтернативная постановка задачи. Критерий идеального наблюдателя. Отношение правдоподобия, его основные свойства. Структурная схема оптимального обнаружителя. Другие критерии оптимальности. Обнаружение детерминированного полезного сигнала на фоне аддитивного гауссовского шума в дискретном времени. Дискретный корреляционный приемник и согласованный фильтр.

4.3. Оптимальное обнаружение сигналов при непрерывных наблюдениях. Функционал отношения правдоподобия. Обнаружение детерминированного сигнала на фоне аддитивного белого гауссовского шума. Корреляционный приемник. Согласованный фильтр. Отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра. Анализ эффективности оптимального обнаружителя.

5. Элементы теории информации

Энтропия, как мера степени неопределенности дискретных и непрерывных случайных систем. Количественное определение информации, средняя собственная и взаимная информации. Теорема Шеннона о кодировании сообщений в отсутствии помех.

Количество информация, передаваемое по дискретному каналу связи с помехами. Пропускная способность дискретного канала связи с шумами. Теорема Шеннона о кодировании сообщений в канале связи с помехами.

1. Вероятностное описание случайных процессов с помощью одномерных, двумерных и многомерных плотностей вероятностей. Примеры совершенно случайных, марковских и квазидетерминированных случайных процессов.
2. Характеристическая функция случайного процесса. Кумулянтные функции, корреляционная и ковариационная функции случайного процесса и их свойства.
3. Преобразование одномерной плотности вероятностей случайного процесса при прохождении через нелинейные безынерционные системы.
4. Стационарные и эргодические случайные процессы, необходимое и достаточное условие стационарности и эргодичности.
5. Спектрально-корреляционный анализ сигналов 1-ой и 2-ой групп. Спектральная плотность энергии и спектральная плотность мощности случайных процессов.
6. Прохождение стационарных случайных процессов через линейные системы.
7. Преобразование корреляционных функций и спектров случайных процессов нелинейными системами.
8. Оптимальное обнаружение дискретных и непрерывных сигналов согласованной фильтрации.
9. Статистический анализ экспериментальных данных, ошибки измерений. Оценка неизвестной функции распределения. Проверка гипотезы о виде распределения.
10. Методы оценки параметров распределения: метод моментов, метод максимального правдоподобия и др. Доверительные интервалы и вероятности оценок.
11. Методы моделирования случайных процессов с заданной функцией распределения.
12. Моделирование случайных процессов с заданной корреляционной зависимостью.

Литература

Основная

1. Рытов С.М. Введение в статистическую радиофизику. Часть 1. М.: Наука, 1976.
2. Тихонов В.Н. Статистическая радиотехника. М.: Радио и связь, 1982.
3. Левин Б.Р. Теоретические основы статистической радиотехники. М.: Радио и связь, 1989.
4. Тихонов В.Н., Харисов И.Н. Статистический анализ и синтез радиотехнических устройств и систем. М.: Радио и связь, 1991.