МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
УЧЕБНАЯ ПРОГРАММА
по курсу
для направления подготовки 511500 -
Радиофизика
(цикл общих математических и естественных
дисциплин)
и для специальностей
071500, 013800 - Радиофизика и электроника
013900 - Фундаментальная радиофизика и физическая
электроника
(цикл общепрофессиональных дисциплин)
Программа составлена на основе программ:
ННГУ - профессор кафедры теории колебаний и
автоматического регулирования В.И. Некоркин,
ТГУ - доцент кафедры радиоэлектроники А.С.
Майдановский.
1. Организационно-методический раздел.
Программа предназначена для подготовки бакалавров и магистров радиофизики, а также специалистов по радиофизическим специальностям "Радиофизика и электроника", "Фундаментальная радиофизика и физическая электроника". Курс "Теория колебаний" базируется на знаниях студентов, приобретенных в курсах общей физики, математического анализа, дифференциальных уравнений, математической физики, радиотехники.
Колебательные и волновые процессы являются предметом исследования специалистов в самых различных областях науки и техники (радиофизика, механика, радиотехника, акустика, электроника и т.д.) Конкретные системы, с которыми приходится иметь дело специалистам в этих областях, совершенно различны, однако, колебательно-волновые явления и процессы, в них происходящие, подчиняются общим закономерностям и описываются едиными колебательными моделями. Такое единство позволяет существенно глубже разобраться в сути явлений в каждой конкретной ситуации и, кроме того, воспользоваться опытом, накопленным при изучении, например, в механических системах, при анализе радиофизических систем.
Изучение основных моделей колебательно-волновых явлений и процессов, их приложение к конкретным физическим (техническим) ситуациям, и развитие общих методов исследования подобных явлений, независимо от их конкретной природы, и составляет предмет теории колебаний.
Цель курса - показать студентам, как можно распознавать в сложных, на первый взгляд, колебательно-волновых процессах в конкретных задачах физики или техники основные - элементарные колебательные явления и свести исходную проблему к анализу этих моделей, достичь понимания студентами основных колебательно-волновых явлений на простых моделях и системах, познакомить студентов и научить их пользоваться основными методами теории колебаний
В процессе изучения курса студенты должны освоить:
2. Содержание курса.
I. ВВЕДЕНИЕ. Историческое введение, формулировка предмета и содержания теории колебаний. Понятие динамической системы и фазового пространства, системы с непрерывным и дискретным временем, грубой динамической системы.
II. ДИНАМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ НА ПРЯМОЙ. Грубые состояния равновесия. Основные бифуркации.
III. УСТОЙЧИВОСТЬ ЛИНЕАРИЗОВАННЫХ СОСРЕДОЧЕННЫХ СИСТЕМ С НЕПРЕРЫВНЫМ И ДИСКРЕТНЫМ ВРЕМЕНЕМ.
Устойчивость по Ляпунову и орбитная устойчивость. Устойчивость и классификация типов состояний равновесия в системах второго и третьего порядков. Простейшие динамические системы с дискретным временем. Классификация неподвижных точек одномерных и двумерных точечных отображений. Отображение Пуанкаре.
IV. КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМАХ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ.
Линейный и нелинейный осцилляторы. Фазовый портрет. Резонанс в нелинейном осцилляторе. Основы качественной теории и теории бифуркаций динамических систем на плоскости. Грубые предельные циклы, основные характеристики. Основные (коразмерности I) бифуркации динамических систем на плоскости: двукратное равновесие, нейтральное равновесие (бифуркация Андронова-Хопфа), двукратный предельный цикл, петля сепаратрисы седла и седло-узла, сепаратрисная связка.
V. АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ. Система с одной степенью свободы. Физические примеры. Динамика сверхпроводящего Джозефсоновского контакта. Уравнения Ван-дер-Поля и Рэлея. Метод разрывных колебаний. Метод Ван-дер-Поля (автономный и неавтономный случаи). Автогенератор с двумя степенями свободы. Условия гашения, затягивания и одночастотности колебаний. Связанные автогенераторы. Явление захватывания, определение полосы синхронизации. Конкуренция колебаний в многомодовых автогенераторах.
VI. ПАРАМЕТРИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ. Параметрический резонанс в системах с одной степенью свободы. Теория Флоке. Уравнение Матье. Асимптотический метод. Определение зон параметрической неустойчивости. Параметрическое возбуждение автоколебаний (резонанс n-го рода). Системы с медленно меняющимися параметрами. Адиабатические инварианты. Распространение гармонической волны в средах с плавной неоднородностью.
VII. РЕЗОНАНСНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ОСЦИЛЛЯТОРОВ. Взаимодействие трех связанных осцилляторов в системе с квадратичной нелинейностью. Соотношение Мэнли-Роу. Резонансное взаимодействие волн в слабонелинейных средах с дисперсией.
VIII. КОЛЕБАНИЯ И ВОЛНЫ В УПОРЯДОЧЕННЫХ СТРУКТУРАХ. Дисперсионные уравнения для цепочек связанных осцилляторов. Физический смысл понятия "дисперсия". Переход от дискретных структур к распределенным. Фазовая и групповая скорости, распространение волнового пакета. Характеристические уравнения ограниченных распределенных систем.
IX. АВТОКОЛЕБАНИЯ В МНОГОМЕРНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ. Основные (коразмерности I) бифуркации многомерных динамических систем: Бифуркации состояний равновесия: двукратное равновесие, бифуркация Андронова-Хопфа. Бифуркации периодических движений: двукратный предельный цикл, удвоение периода, рождение инвариантного тора. Нелокальные бифуркации в окрестности гомоклинической траектории. Отображение "подкова Смейла". Динамический хаос. Странный аттрактор. Характеристические показатели Ляпунова. Фрактальные структуры и размерность странных аттракторов. Ляпуновская размерность.
Переход к хаосу через последовательность бифуркаций удвоения периода. Универсальность Фейгенбаума.
Сценарии перехода к хаосу Ландау-Хопфа и Рюэля-Такенса-Ньюхауза. Генераторы хаотических колебаний
Аттрактор Лоренца и хаос в жидкости. Вывод модели Лоренца. Бифуркации в системе Лоренца.3. Учебно-методическое обеспечение курса.