по направлению 511500 - радиофизика
Предисловие.
Целью изучения дисциплины "Теория колебаний" является ознакомление с возможными видами движений в нелинейных колебательных системах, особенностями их развития и установления, характеристиками как стационарных, так и нестационарных процессов. Для анализа идеализированных математических моделей исследуемых систем используются изучаемые в рамках этого курса приближенные аналитические и качественные методы решения уравнений. В лабораторном практикуме студенты учатся конструированию реальных структур и овладевают экспериментальными методами их исследования.
1. Введение. Предмет теории колебаний. Колебательные системы и явления в природе и технике, их классификация. Краткий исторический очерк. Задачи теории колебаний. Особенности движений в нелинейных детерминированных системах (регулярные и хаотические типы движений). Математические модели нелинейных колебательных систем различной природы. Обзор методов анализа линейных и нелинейных колебательных систем: аналитические, качественные и численные.
2. Элементы качественной теории дифференциальных уравнений. Фазовое пространство, фазовая точка, фазовая траектория, уравнения движения, число степеней свободы, теорема Коши, интегральные кривые. Особые точки (точки покоя), типы особых точек. Понятие фазового портрета системы на примере идеального физического маятника - колебательное и вращательное движения, особые точки, сепаратриса, бифуркация. Маятник с трением - невозможность интегрирования уравнения движения. Методы построения фазовых траекторий. Метод изоклин, построение фазовых портретов идеального осциллятора, осциллятора с потерями, физического маятника с трением. Дельта-метод построения интегральной кривой. Понятие предельных циклов: инкрементные и декрементные области, предельный цикл. Понятие регулярного аттрактора.
3. Устойчивость стационарных состояний линейных и нелинейных систем. Понятие устойчивости по Ляпунову. Условие устойчивости. Критерии устойчивости Рауса-Гурвица, Михайлова, Найквиста. Устойчивость стационарных вынужденных и самоподдерживающихся колебаний. Устойчивость амплитуды и фазы колебаний; условия устойчивости систем, амплитуда колебаний в которых не зависит от фазы, чередование устойчивых и неустойчивых амплитуд; прочность предельного цикла; характеристическй показатель Ляпунова; устойчивость "в малом" и "в большом". Устойчивость по Пуассону. Условия устойчивости в малом в общем случае.
4. Колебания в нелинейных пассивных (несамовозбуждающихся) системах.
4.1 Метод медленно меняющихся амплитуд.
4.2 Свободные колебания осциллятора с нелинейным трением и нелинейной жесткостью: электрический контур с нелинейным сопротивлением и нелинейной емкостью - схема, уравнение движения, запись в канонической форме, решение методом ММА, неизохронность, закон установления амплитуды, сравнение с линейным контуром. Фазовый портрет движения.
4.3 Вынужденные колебания осциллятора с нелинейной жесткостью при силовом воздействии: контур с нелинейной емкостью, дифференциальное уравнение, решение методом ММА, построение резонансной кривой, областей устойчивости.
4.4 Движения осциллятора с нелинейной жесткостью при параметрическом возбуждении: примеры параметрических колебательных систем, механизм возбуждения, частоты и условия возбуждения. Дифференциальное уравнение, уравнение и зоны Матье, решение методом ММА для первой зоны, построение резонансных кривых для идеального контура и контура с потерями и различным характером нелинейности, устойчивость вынужденных колебаний.
4.5 Сравненительный анализ свойств линейного и нелинейного контуров при силовом и параметрическом возбуждении.
5. Автоколебательные системы.
5.1. Автономные системы с одной степенью свободы. Типы автоколебательных систем. Автогенератор на туннельном диоде, аппроксимация характеристики диода для мягкого и жесткого режимов возбуждения. Уравнение Ван-дер-Поля, качественное построение фазовых портретов при малом и большом значении затухания регенерированной системы. Автогенератор с жестким режимом возбуждения - схема, уравнение движния, решение методом ММА, стационарные амплитуды, исследование устойчивости для самовозбуждающейся и несамовозбуждающейся системы. Неточность метода ММА. Поправка к частоте (влияние гармоник на частоту автоколебаний). Необходимость отыскания высших приближений.
5.2. Метод Н.Н. Боголюбова. Точность метода, определение коэффициентов для первого и второго приближений.
5.3. Установление амплитуды и частоты колебаний в автоколебательной системе с мягким режимом возбуждения: постановка задачи, решение во втором приближении методом Боголюбова, решение уравнения для амплитуды, исследование установления амплитуды и частоты (двойной ход частоты).
5.4. Неавтономные автоколебательные системы с одной степенью свободы. Возможные случаи - синхронизация на основном тоне, на гармониках и на субгармониках, параметрическое возбуждение - резонанс n-го рода.
Синхронизация на основном тоне - схема генератора на туннельном диоде с внешним источником гармонической ЭДС, уравнение Ван-дер-Поля с правой частью, решение в первом приближении, построение резонансных кривых, расчет и построение областей устойчивости по амплитуде и фазе, полосы синхронизации. Явление захватывания, синхронизация гашением.
Резонанс второго рода (частный случай резонанса n-го рода), схема, уравнение движения с учетом квадратичного члена аппроксимации динамической вольтамперной характеристики, решение методом ММА, стационарная амплитуда, построение резонансной кривой, устойчивость.
6. Многочастотные колебательные системы.
6.1. Варианты многочастотных пассивных и активных систем - пассивные: многоконтурные и распределенные; активные: многоконтурные генераторы, автогенераторы с запаздывающей обратной связью, с распределенными параметрами, системы взаимосвязанных одночастотных автогенераторов. Математическое описание различных многочастотных систем обыкновенными нелинейными дифференциальными уравнениями, дифференциальными уравнениями с запаздывающим аргументом, интегральными уравнениями, дифференциальными уравнениями в частных производных с нелинейными граничными условиями. Применение метода Лапласа к составлению математической модели нелинейной системы с большим числом степеней свободы.
6.2. Спектрально-временной метод.
6.3.Автоколебательные системы с запаздывающей обратной связью: примеры структур, простейшая схема, баланс амплитуд и фаз, эквидистантное и неэквидистантное распределение собственных частот, уравнения движения. Решение задачи для одночастотной области возбуждения. Возможные режимы работы двух-, трехчастотных систем. Тор (квазипериодический аттрактор).
6.4. Системы взаимносинхронизированных автогенераторов, варианты их соединений в ансамбли, межансамблевые соединения. Сложность аналитического решения задач. Подходы к анализу устойчивости. Взаимная синхронизация двух одинаковых автогенераторов, - схема, уравнение, роль цепи связи, решения для стационарного режима при чисто резистивной и при чисто реактивной связи.
7. Хаос в динамических системах.
7.1. Экспоненциальная неустойчивость по Ляпунову. Эволюция фазового объема для устойчивых и неустойчивых по Ляпунову траекторий. Понятие странного аттрактора. Типы странных аттракторов: грубые - гиперболические, аттрактор Лоренца, квазигиперболические, хаотические нестранные, странные нехаотические. Гомоклиническая траектория и структура. Качественные характеристики хаотических движений: временная и спектральная характеристика, автокорреляционная функция, сечение Пуанкаре. Количественные характеристики хаотических движений: спектр характеристических показателей Ляпунова, размерность странного аттрактора, энтропия Колмогорова-Синая.
7.2 Бифуркации состояний равновесия. Бифуркации устойчивых предельных циклов. Бифуркации устойчивых предельных торов. Бифуркации странных аттракторов. Сценарии возникновения хаотических движений: Ландау (1944), Ландау-Хопфа (1948), Рюэля-Такенса (1971), Фейгенбаума (1978), Помо-Манневиля (1979).
7.3. Примеры физических систем с динамическим хаосом: эксперимент Бенара и модель Лоренца. Радиофизические системы: автогенератор с 1.5 степенями свободы, цепь Чуа, модифицированный генератор с инерционной нелинейностью, генератор Ван-дер-Поля с запаздыванием и при внешнем периодическом воздействии. Полубесконечная цепочка однонаправленно связанных генераторов Ван-дер-Поля. Синхронизация и управление хаотическими режимами колебаний.
Примерный перечень лабораторных работ
Литература
Программу составил А.С. Майдановский, доцент (Томский университет).