1. Найти собственные значения и собственные функции для уравнения
на отрезке с граничными условиями, .
2. Найти собственные значения и собственные функции для уравнения
на отрезке с граничными условиями, .
3. Решить задачу Коши для волнового уравнения , .
4. Решить задачу Коши для волнового уравнения , .
5. Решить задачу Коши для волнового уравнения , .
6. Решить краевую задачу для уравнения Лапласа внутри круга , с граничным условием .
7. Внутри круга , решить краевую задачу Дирихле ,
8. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний на отрезке
,
9. Решить начально-краевую задачу для уравнения колебаний в круге , :
10. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности в круге , :
11. Решить начально-краевую задачу для уравнения теплопроводности в шаре , , :
.
12. Решить задачу Коши для уравнения теплопроводности на бесконечной прямой
, .
13. Доказать, что функция образует ортогональный базис в .
14. На отрезке задан набор функций: . Найти первые 3 вектора-функции системы ортонормированных векторов, если скалярное произведение определено: .
15. Разложить функцию по базису в .
16. Используя определение полинома Лагерра, доказать .
17. Используя определение функции Бесселя, доказать .
18. Доказать, что , где - функция Бесселя.
19. Вычислить интеграл с - функцией Дирака: .
20. Вычислить интеграл с - функцией Дирака: .
21. Найти обобщенную производную функции: , где - функция Хевисайда.
22. Найти обобщенную производную функции: .
23. Доказать симметричность оператора , .
24. Доказать, что оператор является унитарным, если - самосопряженный.
25. Найти спектр оператора , .