Задачи по механике

1. Тело брошено с поверхности земли под углом a к горизонту со скоростью V₀. Каков максимальный радиус кривизны его траектории во время полета? Сопротивлением воздуха пренебречь, ускорение свободного падения равно g.

2. Материальная точка движется по плоскости, начиная с момента времени t = 0, по закону: х = а соs t, у = b sin t. Найти ускорение точки в момент первого пересечения ею оси У.

3. В системе, изображенной на рисунке, массы тел равны m₁ и m₂. Трения нет, массы блоков и нити пренебрежимо малы, участки нити, не лежащие на блоках, вертикальны или горизонтальны. Найти ускорение тела m₁. Ускорение свободного падения равно g.

4. Найти ускорение массы m₁ в системе, изображенной на рисунке. Нити невесомы и нерастяжимы, блоки невесомы, трение в осях блоков и о воздух отсутствует. Ускорение свободного падения равно g.

5. Маятник, состоящий из маленького груза массы М, висящего на невесомой нерастяжимой нити, отклоняют на угол от положения равновесия и отпускают. Найти натяжение нити в тот момент, когда нить отклонена от положения равновесия на угол < . Ускорение свободного падения равно g.

6. На гладкой горизонтальной плоскости лежит небольшая шайба массы m и гладкая горка массы М и высоты Н. Какую минимальную скорость V надо сообщить шайбе, чтобы она смогла преодолеть горку?

7. Два шарика с массами m₁ и m₂, движущиеся вдоль одной прямой со скоростями V₁ и V₂, испытывают упругое столкновение. Найти максимальное значение энергии упругой деформации шариков во время этого столкновения.

8. Ракета массы М, находящаяся в космосе вдали от других тел, начинает ускоряться, выбрасывая из двигателя с относительной скоростью U газы массой в единицу времени. Через сколько времени ракета достигнет скорости V?

9. На тяжелой пластинке, соскальзывающей с наклонной плоскости, установлен отвес. Коэффициент трения между пластинкой и плоскостью равен . Определить угол отклонения нити отвеса от перпендикуляра к плоскости пластинки при установившемся движении.

10. Горизонтальный диск вращают с постоянной угловой скоростью = 6,0 рад/с вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр. По одному из диаметров диска движется небольшое тело массы m = 0,50 кг с постоянной относительно диска скоростью v  = 50 см/с. Найти силу, с которой диск действует на это тело в момент, когда оно находится на расстоянии r = 30 см от оси вращения.

11. Стержень пролетает с постоянной скоростью мимо метки, неподвижной в К-системе отсчета. Время пролета t = 20 нс - в К-системе. В системе же отсчета, связанной со стержнем, метка движется вдоль него в течение t^/ = 25 нс. Найти собственную длину стержня.

12. Собственное время жизни некоторой нестабильной частицы t₀ = 10 нс. Найти путь, который пролетит эта частица до распада в лабораторной системе отсчета, где ее время жизни t = 20 нс.

13. Шарик массы m падает без начальной скорости с высоты h над поверхностью Земли. Найти модуль приращения вектора момента импульса шарика за время падения - относительно точки О системы отсчета, движущейся поступательно со скоростью V в горизонтальном направлении. В момент начала падения точка О совпадала с шариком. Сопротивление воздуха не учитывать.

14. На однородный сплошной цилиндр массы М и радиуса R намотана легкая нить, к концу которой прикреплено тело массы m. В момент t = 0 система пришла в движение. Пренебрегая трением в оси цилиндра, найти зависимость от времени:

а) угловой скорости цилиндра;
б) кинетической энергии всей системы.

15. Гладкий однородный стержень АВ массы М и длины L свободно вращается с угловой скоростью ₀ в горизонтальной плоскости вокруг неподвижной оси, проходящей через его конец А. Из точки А начинает скользить небольшая муфта массы m. Найти скорость муфты относительно стержня в тот момент, когда она достигнет его конца В.

16. Однородный упругий прямоугольный брусок движется по гладкой горизонтальной плоскости под действием постоянной силы F, направленной вдоль бруска и равномерно распределенной по его торцу. Площадь торца равна S, модуль Юнга материала - Е. Найти относительную деформацию бруска в направлении действия данной силы.

17. Проволока длиной L натянута горизонтально между двумя зажимами. К середине проволоки подвешен груз весом Р, в результате чего возник прогиб . Определить зависимость от Р, если известны модуль Юнга материала проволоки Е и ее диаметр d. Считать начальное натяжение проволоки малым, /L << 1.

18. Какую работу необходимо совершить, чтобы, действуя постоянной силой на поршень, выдавить из горизонтально расположенного цилиндра через отверстие на его торце всю воду за время t? Начальный объем воды в цилиндре равен V, площадь сечения отверстия s много меньше площади поршня. Трение и вязкость пренебрежимо малы.

19. Свинцовый шарик равномерно падает в глицерине, вязкость которого равна = 1,39 Па*с. При каком максимальном диаметре шарика d его обтекание еще остается ламинарным, если известно, что переход к турбулентному обтеканию соответствует числу Рейнольдса Rе = 0,5 (за характерный размер в этом числе взят d)? Плотность глицерина ₁ = 1,26 г/см³, плотность свинца ₂ = 11,3 г/см³, ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².

20. Сплошной однородный цилиндр массы М совершает малые колебания под действием двух пружин, общий коэффициент жесткости которых равен k (см. рис.). Найти период этих колебаний в отсутствии проскальзывания.

21.Найти логарифмический декремент затухания математического маятника длины L = 50 см, если за промежуток времени t = 5 мин. Его полная механическая энергия уменьшилась в n = 4*10⁴ раз. Ускорение свободного падения g = 9,8 м/с².

22. При частотах вынуждающей гармонической силы ₁ и ₂ амплитуда скорости частицы равна половине максимального значения. Найти резонансную частоту ₀.

23. На пути плоской звуковой волны, распространяющейся в воздухе (плотность = 1,3 кг/м³), находится шар радиусом R = 50 см. Длина волны звука = 20 см, частота = 1700 Гц, амплитуда колебаний давления p = 3,5 Па. Найти средний за период колебаний поток энергии, падающий на шар.

24. Неподвижный наблюдатель воспринимает звук от двух камертонов, один из которых приближается, а другой с той же скоростью удаляется. При этом наблюдатель слышит биения с частотой n = 2 Гц. Найти скорость каждого камертона, если частота их колебаний _о = 680 Гц и скорость звука с = 310 м/с.

25. Струна массы М закреплена с обоих концов. В ней возбудили колебания основного тона с круговой частотой и максимальной амплитудой смещения А₀. Найти максимальную кинетическую энергию струны.