Численные методы в физике
trans1x1.gif (43 bytes) 1. Найти интерполяционные полиномы Лагранжа для
2. 2. Найти интерполяционный полином для функции, известной в трех точках: f(-1)=f1, f(0)=f2, f(1)=f3.
3.

Функция задана в семи точках (x, y):

?

x

y

1

1

1

2

2

1

3

3

1

4

4

1

5

1

2

6

2

2

7

3

2

Какой полином P(x, y) следует использовать для интерполяции?
4. Для нелинейной аппроксимации предполагается использовать функцию

.

Предложите способ нахождения A, B и С.

5. Функция дифференцируется по формуле: в интервале [0 .. 1]. Чему равна максимальная погрешность дифференцирования.
6. Получить разностную схему для третьей производной. Функция задана на равномерной сетке.
7. Найти g(t), где .
8. Предложить схему численного нахождения интеграла , где f(x) - функция без особенностей.
9. Найти полином P2(x), ортогональный на отрезке [0 .. 1] к полиномам p0(x)=1 и p1(x)=x.
10. Оценить ошибку интегрирования методами:
а) прямоугольников;
б) трапеций;
в) Симпсона;
г) Гаусса по 3 точкам.
11. Привести пример логической операции, которая истинна с точки зрения традиционной арифметики и ложна с точки зрения арифметики конечной точности.
12. Привести к системе уравнений 1го порядка задачу Коши:

,

где y(x0)=y0, , , y0, и - константы.
13. Исследовать устойчивость уравнения , y(0)=0 на интервале [0 .. 2].
14. Уравнение интегрируется методом Эйлера на интервале [0 .. 1]. Какой выбрать шаг, чтобы точность нахождения y была не хуже 10-4?
15. Записать в общем виде уравнение Рунге - Кутта 6го порядка.
16. Свести дифференциальное уравнение

к алгебраической (матричной) задаче на собственные значения.

17. Дано:

известные функции, i и vi- набор констант. Составить систему уравнений для нахождения I.

18. Расписать один шаг метода Коуэлла (неявная многошаговая схема) для уравнения y' = f(x,y).
19. Свести задачу на собственные значения

y" = y,

y(0)=y(a)=0.

к многократному решению задачи Коши (метод "стрельбы").

20. Записать словами или на языке программирования PASCAL или СI алгоритм автоматического выбора шага при интегрировании дифференциального уравнения y' = f(x, y(x)) методом Рунге - Кутта.