Основы
кристаллофизики
|
 |
1. |
Определить число атомов в элементарной
ячейке железа, кристаллизующегося в кубической
системе. Ребро куба а=2,27 А; атомный вес железа 55,84;
плотность его 7800 кг/м3. |
| 2. |
Доказать, что в кристаллической решетке
отсутствует ось симметрии пятого порядка. |
| 3. |
Определить объемы элементарной ячейки
через радиусы равновеликих шаров, образующих
плотные упаковки для: а) объемноцентрированной,
б) гранецентрированной и в) гексагональной
решеток. |
| 4. |
Чему равно число атомов в элементарной
ячейке в случае: а) простой, б)
объемноцентрированной, в) гранецентрированной
кубических решеток. |
| 5. |
Чему равно число атомов в элементарной
ячейке гексагональной плотноупакованной
решетки? |
| 6. |
Показать, что с/а для идеальной
гексагональной структуры с плотной упаковкой
равно (8/3)3/2 = 1,633. |
| 7. |
Пусть элементарная ячейка простой
кубической решетки построена из одинаковых
атомов, представляющих собой жесткие сферы с
радиусом r. Ребро элементарной ячейки а=2r
(атомы касаются друг друга). Показать, что часть
объема, занятая атомами при таком расположении,
равна /6=0,523. |
| 8. |
Объемноцентрированная кубическая
решетка состоит из атомов одного вида, имеющих
радиусы r. Пусть атомы, расположенные по
диагонали, которая проходит через центр куба,
касаются друг друга. Показать, что часть объема,
занятая атомами при таком расположении, равна  . |
| 9. |
Пусть гранецентрированная кубическая и
гексагональная решетки построены из одинаковых
атомов, представляющих собой жесткие сферы с
радиусом r. Показать, что часть объема,
занятая атомами при таком расположении, равна  . |
| 10. |
Определить отрезки, которые отсекает на
осях решетки плоскость (125). |
| 11. |
Найти индексы плоскостей, проходящих
через узловые точки кристаллической решетки с
координатами 9 10 30, если параметры решетки а=3,
в=5, с=6. |
| 12. |
Найти число элементарных ячеек в 1 куб.
см кристалла магния с параметрами решетки а = 3,20
А и с = 5,20 А. |
| 13. |
Элементарная ячейка магния принадлежит
к гексагональной системе и имеет параметры а =
3,20 А и с = 5,20 А. Определить векторы обратной
решетки. |
| 14. |
Найти векторы обратной решетки для
ромбоэдрического кристалла кальция (CаСО3),
если а = 6,36 А, = 466'. |
| 15. |
Найти основные векторы решетки,
обратной к простой кубической решетке. Длина
ребра простой кубической решетки равна a. |
| 16. |
Найти основные векторы решетки,
обратной к объемноцентрированной кубической
решетке. Длина ребра объемноцентрированной
кубической решетки равна a. |
| 17. |
Найти основные векторы решетки,
обратной к гранецентрированной кубической
решетке. Длина ребра гранецентрированной
кубической решетки равна a. |
| 18. |
Вывести структурный фактор базиса
объемноцентрированной кубической решетки. |
| 19. |
Вывести структурный фактор базиса
гранецентрированной кубической решетки. |
Дифракция
рентгеновских лучей в кристаллах
|
|
1. |
Определить постоянную решетки
кристалла LiI, если известно, что зеркальное
отражение первого порядка рентгеновских лучей с
длиной волны 2,10 А от естественной грани этого
кристалла происходит при угле скольжения 105'. |
| 2. |
Известно, что длина волны
характеристического рентгеновского излучения,
полученного с медного анода, составляет 1,537 А.
Эти лучи, попадая на кристалл алюминия, вызывают
дифракцию от плоскостей (111) под брэгговским
углом 19,2. Алюминий имеет структуру
гранецентрированного куба (ГЦК), плотность его 2699
кг/м3 , атомный вес 26,98. Рассчитать
число Авогадро по этим экспериментальным данным. |
| 3. |
Кристаллы меди имеют
гранецентрированную кубическую решетку. При
комнатной температуре ребро элементарного куба
равно 3,608 А. Монокристалл меди вырезан
параллельно одной из граней элементарного куба.
Пусть на поверхность кристалла падает
монохроматический пучок рентгеновских лучей с
длиной волны 1,658 А. Показать, что плоскости,
параллельные поверхности, будут отражать
рентгеновские лучи, если угол между пучком и
поверхностью кристалла приближенно равен 27 и
67. |
| 4. |
Чему равны расстояния между плоскостями
(100), (110) и (111) в кубической решетке с параметром а?
|
Типы связей
|
|
1. |
Показать, что степени в выражении для
потенциальной энергии атомов, находящихся на
расстоянии r,  должны
удовлетворять неравенству m > n. |
| 2. |
Энергия взаимодействия между двумя
атомами в молекуле зависит от расстояния
следующим образом: .
Межатомное расстояние в положении равновесия 3
А, энергия диссоциации молекулы 4 эв.
Вычислить значения коэффициентов и , если n=2, m=10.
Найти силы, стремящиеся вернуть атомы в
положение равновесия при изменении межатомного
расстояния на 10%. |
| 3. |
Определить значение постоянной
Маделунга для одномерной решетки, состоящей из
последовательно чередующихся положительных и
отрицательных ионов. |
| 4. |
Вычислить значение энергии
кристаллической решетки NaCl, если постоянная n,
характеризующая потенциал сил отталкивания,
равна 9,4, а постоянная Маделунга 1,75. |
| 5. |
Экспериментальное значение энергии
сцепления KCl на молекулу равно 6,62 эв.
Вычислить n, считая r = 3,1 А. |
Энергетические
зоны
|
|
1. |
Концентрация свободных электронов
натрия 2,5·1028м. Определить температуру
Ферми и скорость электронов на уровне Ферми. |
| 2. |
Экспериментальное значение границы
Ферми для лития при 0 К равно 3,5 эв. Какое
значение эффективной массы электрона следует
подставить в формулу, чтобы получить согласие
между теоретическим и экспериментальным
значениями границы Ферми? |
| 3. |
Определить число электронных состояний
в единице обьема металла с энергией 0,3 - 0,4 эв. |
| 4. |
Каковы соответственно вероятности того,
что при комнатной температуре (кТ = 0,025 эв)
электрон займет состояния, лежащие на 0,1 эв
выше и на 0,1 эв ниже уровня Ферми? |
| 5. |
Какова вероятность того, что электрон в
металле будет иметь энергию, равную энергии
Ферми? |
| 6. |
При абсолютном нуле уровень Ферми для
меди 7,04 эв. Определить значение уровня Ферми
при 20 К. |
| 7. |
Показать, что для двухмерной простой
квадратной решетки кинетическая энергия
свободного электрона в угле первой зоны
Бриллюэна вдвое больше, чем в середине боковой
стороны зоны. |
| 8. |
Построить первые две зоны Бриллюэна для
двухмерной простой прямоугольной решетки с
межатомными расстояниями а и b (для
случая, когда а = 3b). |
Дефекты
в крристаллах
|
|
1. |
Для образования вакансии в алюминии
требуется энергия примерно 0,75 эв. Сколько
существует вакансий на один атом кристалла в
состоянии термодинамического равновесия при
комнатной температуре? При 600 К? |
| 2. |
Рассчитать отношение числа дефектов по
Шоттки к числу дефектов по Френкелю при
комнатной температуре, если энергия для
образования вакансии 0,75 эв, а для образования
дефекта внедрения 3 эв. |
| 3. |
Пусть энергия, требуемая для
перемещения атома натрия из внутренней части
кристалла на поверхность, равна 1 эв.
Вычислить теплоемкость одного моля металла при
комнатной температуре, обусловленную наличием в
нем дефектов Шоттки. |
| 4. |
Вычислить, насколько должен раздвинуть
атом своих соседей при помещении его в
междоузлие гранецентрированной кубической
решетки. |