Содержание

Электродинамика вакуума
Электродинамика сплошных сред
Механика сплошных сред
Классическая механика

 

 

 

 

 

 

Электродинамика вакуума

trans1x1.gif (43 bytes) 1. Исходя из преобразований Лоренца, получить релятивистские формулы преобразования компонент скорости частицы. Как произвести предельный переход к формулам сложения скоростей классической механики.
2. Четыре-импульс. Преобразование импульса, энергии, частоты и волнового вектора.
3. Доказать, что законом сохранения энергии-импульса запрещена аннигиляция пары электрон-позитрон, сопровождаемая испусканием одного гамма-кванта, но нет запрета на реакцию аннигиляции с испусканием двух фотонов.
4. Найти энергию электрического поля равномерно заряженной сферы радиуса R и заряда q.
5. Найти магнитное поле равномерно распределённого стационарного цилиндрического тока I радиуса a.
6. Получить дисперсионное соотношение для электромагнитных волн в вакууме.
7. Инварианты электромагнитного поля. Какие выводы общего плана могут быть сделаны, исходя из существования этих инвариантов.
8. Исходя из уравнений Максвелла, показать, как вводятся скалярный и векторный потенциалы и какова их связь с векторами напряжённости электрического и магнитного полей. Какова неоднозначность в определении потенциалов ?
9. Два пучка электронов летят навстречу друг другу со скоростью v = 0.9 c. Какова относительная скорость электронов: а) с точки зрения наблюдателя в лаборатории; б) с точки зрения наблюдателя, движущегося вместе с одним из пучков электронов ?
10. Найти rot и div радиус-вектора.
12. Найти магнитное поле кольцевого тока на больших расстояниях от этого тока.

 

 

 

 

Электродинамика сплошных сред

trans1x1.gif (43 bytes) 1. Определить напряженность электрического поля плоского конденсатора, обкладки которого равномерно заряжены с поверхностной плотностью и . Пространство между ними заполнено неоднородным диэлектриком, проницаемость которого . Краевым эффектом пренебречь. Ось x направлена перпендикулярно к обкладкам.
2. Определить, решая уравнение Пуассона, потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого бесконечно плоским слоем толщиной 2a, равномерно заряженным с объемной плотностью = const. Диэлектрическая проницаемость слоя = const. Окружающая среда - вакуум.
3. Вычислить энергию равномерно заряженного по объему диэлектрического шара радиуса a. Диэлектрическая проницаемость шара . Окружающая среда - вакуум. Заряд шара q.
4. Определить потенциал и напряженность электрического поля, создаваемого в вакууме точечным зарядом q, находящимся на расстоянии a от бесконечной заземленной проводящей плоскости.
5. Два однородных диэлектрика с проницаемостями и граничат по плоскости. По одну сторону этой границы напряженность поля равна E1 и составляет угол с нормалью к границе раздела. Определить величину и направление напряженности по другую сторону границы раздела.
6. По бесконечному цилиндрическому проводнику радиуса a проходит ток J, равномерно распределенный по площади поперечного сечения (j = const). Определить напряженность магнитного поля, создаваемого этим током в однородной среде.
7. Однородное электрическое поле напряженностью E и однородное магнитное поле, индукция которого B, направлены взаимно перпендикулярно. Какой должна быть скорость электрона, чтобы он в этом комбинированном поле двигался равномерно и прямолинейно?
8. Плоский контур вращается с угловой скоростью в однородном магнитном поле вокруг оси, перпендикулярной к полю. Индукция поля равна B. Определить э.д.с. индукции в этом контуре. Площадь, ограниченная контуром, равна S.
9. Тяжелый горизонтальный стержень AB, масса которого m, может скользить без трения по двум вертикальным стержням AM и BN, замкнутым на сопротивление R. Определить закон падения стержня AB в однородном поперечном магнитном поле B. Сопротивлением стержней и самоиндукцией контура пренебречь.
10. Показать, что при разрядке плоского конденсатора ток проводимости замыкается током смещения.
11. Определить время релаксации свободного заряда в проводящей среде.
12. Вывести уравнение

из уравнений Максвелла.

 

 

 

 

 

Механика сплошных сред

trans1x1.gif (43 bytes) 1. Плоская изотермическая атмосфера состоит из идеального газа и находится в однородном поле тяжести g = (0,0,g). Найдите распределение по высоте плотности и давления.
2. Гравитирующий шар радиуса R состоит из несжимаемой жидкости плотности и находится в гидростатическом равновесии. Определите распределение в шаре давления P(r) и гравитационного потенциала (r).
3. Докажите справедливость закона Архимеда: на тело погруженное в жидкость действует выталкивающая сила равная весу вытесненной жидкости.
4. Вычислите скорость вытекания несжимаемой жидкости из малого отверстия в стенке сосуда под действием силы тяжести. Свободная поверхность жидкости находится над отверстием на высоте h.
5. Угловая скорость вращения несжимаемой жидкости вокруг вертикальной оси (r). Найдите закон (r), при котором течение жидкости оказывается потенциальным.
6. Рассчитайте течение Пуазейля вязкой несжимаемой жидкости между двумя пластинами.
7. Рассчитайте конфигурацию течения Пуазейля вязкой несжимаемой жидкости в цилиндрической трубе.
8. Жидкость твердотельно вращается с угловой частотой . Покажите, что а
9. Запишите уравнения, описывающие звуковые волны в идеальном газе. Найдите закон дисперсии этих волн.
10. Запишите закон сохранения массы, импульса и энергии в потоке идеального газа на прямом стационарном скачке уплотнения.

 

 

 

 

Классическая механика

trans1x1.gif (43 bytes) 1. Найти функцию Лагранжа системы из плоского маятника с массой m2 и длиной l, точка подвеса которого с массой m1 может совершать движение по горизонтальной прямой. Система находится в однородном поле тяжести.
2. Какие компоненты импульса p и момента M сохраняются при движении в поле бесконечной однородной плоскости. Объяснить почему.
3. Провести качественный анализ движения частицы в потенциальном поле U(x), изображённом на рисунке, при различных уровнях энергии E.
4. Определите приближённо закон движения частицы в поле U(x) вблизи точки остановки x = a. Sprite9.gif (1724 bytes)
5. Спутник движется по круговой орбите радиуса R1 . Где и насколько надо изменить величину скорости, чтобы перевести его на круговую орбиту большего радиуса R2.
6. Выразить амплитуду и начальную фазу колебаний через начальные значения координаты x0 и скорости v0 .
7. Точка подвеса математического маятника массы m и длины l движется по горизонтальной прямой по закону x = at2/2. Найти закон движения маятника в системе отсчёта, движущейся совместно с точкой подвеса маятника.
8. Какие компоненты импульса p и момента M сохраняются при движении в поле бесконечного однородного цилиндра? Объяснить почему.
9. Найти закон движения тела, падающего в воздухе без начальной скорости. Сопротивление воздуха считать пропорциональным скорости.
10. Найти функцию Гамильтона для математического маятника. Записать уравнения Гамильтона.
11. Найти функцию Лагранжа для математического маятника. Записать уравнение Лагранжа.
12. Объяснить, почему траектория частицы в центральном поле является плоской.